【カルノー図法とは】論理式の簡単化手順と例題

カルノー図法とは?論理式を簡単化するテクニックと例題についてまとめました。

【カルノー図法とは】使い方

カルノー図法は、表を使って論理式を簡単化する方法です。

● 以下の4変数の論理式を簡単化することを考えます。

(1)   \begin{eqnarray*} Z=\bar{A} \cdot B \cdot \bar{C} \cdot \bar{D} +B \cdot \bar{C} \cdot D +A \cdot \bar{B} \cdot C \cdot D +A \cdot C \cdot D +B \cdot C \cdot D$ \end{eqnarray*}

● 論理変数が(A,B,C,D)と4個なので、値の組み合わせは2×4=16個となりますので、この組み合わせを表す表(4×4)を作成します。

AB\CD 00 01 11 10
00
01
11
10

● 縦横は、それぞれの論理変数の値を示しており、上の端のセルと下の端のセル、右端のセルと左端のセルは連続していると考えます。

● その中に論理変数に応じた論理式(1)の値を入れていきます。
右辺は5個の項からなり、その5個の項のうちいずれかの値が1になった場合、論理式の値が1となります。
ここで、論理式が1になる論理変数(A,B,C,D)の値を探します。

● 右辺第1項の値が1になるのは、(0,1,0,0)の場合のみなので、それに対応する2行1列目のセルに1を書き込みます。

AB\CD 00 01 11 10
00
01 1
11
10

● 右辺第2項の場合、Aの項が無いのでそれは0でも1でもかまわないため、(0,1,0,1)と(1,1,0,1)のとき論理式の値が1になります。

AB\CD 00 01 11 10
00
01 1 1
11 1
10

● 右辺第3項は(1,0,1,1)のとき論理式の値が1になります。

AB\CD 00 01 11 10
00
01 1 1
11 1
10 1

● 第4項は(1,0,1,1)と(1,1,1,1)のとき論理式の値が1になります。

AB\CD 00 01 11 10
00
01 1 1
11 1 1
10 1

● 第5項は$ (0,1,1,1)と(1,1,1,1)のとき論理式の値が1となります。

AB\CD 00 01 11 10
00
01 1 1 1
11 1 1
10 1

● 表の中の全ての1を、以下の条件に従ってできるだけ数の少ない正方形を含む長方形で囲みます。

【条件】
・囲んだ長方形の中のセルは、全て1であること。  
・囲んだ長方形の中のセルの数は2の倍数であること。
・同じセルを2つ以上の長方形で囲ってもいい(重複OK)
・カルノー図の上下の端、および左右の端は連続していると考える

● 今回の例では、3個の長方形で囲めます。

AB\CD 00 01 11 10
00
01 1 1 1
11 1 1
10 1
AB\CD 00 01 11 10
00
01 1 1 1
11 1 1
10 1
AB\CD 00 01 11 10
00
01 1 1 1
11 1 1
10 1

● 3個の長方形から共通変数を取り出しその論理積を作ります。
それぞれの論理積の論理和をとり、論理式を作ります。

(2)   \begin{eqnarray*} Z=\bar{A}\cdot B \cdot \bar{C}+A \cdot C \cdot D+B \cdot D \end{eqnarray*}

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