【アンペールの法則】積分形と微分形

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この記事では、アンペールの法則(微分形・積分形)の計算式とその導出方法についてまとめています。

アンペールの法則とは

アンペールの法則とは、電流とその周囲に発生する磁界(磁場)の関係をあらわす法則で、1820年にフランスの物理学者アンドレ・マリー・アンペールによって発見されました。

この法則によれば、直線導体に電流Iを流すと電流の方向を右ネジの進む方向として、右ネジの回る向きに磁界(磁場)Hが発生します。
Hの大きさは以下の式で計算できます。

(1) \begin{eqnarray*} H=\frac{I}{2\pi r} \end{eqnarray*}

ここで、rは円形領域Sの半径です。

アンペールの法則(積分形)

任意の点における磁界Hと電流密度jの関係は以下の式で表せます。

(2) \begin{eqnarray*} \int_CHdl=\int_SjdS \end{eqnarray*}

これをアンペールの法則の積分形といいます。

(ただし、Hは磁界の強さ、Cは閉曲線、dlは線素ベクトル、jは電流密度、dSは面素ベクトル)

ここで、アンペールの法則の積分形を使って、直線導体に流れる電流の周りの磁界Hを求めてみます。

直線電流によって中心を垂直に貫いた半径rの円領域Sとその周囲Cを考えると、アンペールの式(積分形)の左辺は

(3) \begin{eqnarray*} \int_CHdl=H\int_Cdl=2\pi rH \end{eqnarray*}

となります。一方右辺は

(4) \begin{eqnarray*} \int_SjdS=I \end{eqnarray*}

となります。これはC内を通過する全電流を示しています。これらの結果から

(5) \begin{eqnarray*} 2\pi rH=I\\ H=\frac{I}{2\pi r} \end{eqnarray*}

が求まり、最初に紹介したアンペールの法則の磁界Hを求める式が導出されます。

アンペールの法則(微分形)

任意の点における磁界Hと電流密度jの関係は以下の式で表せます。

(6) \begin{eqnarray*} rotH=j \end{eqnarray*}

これをアンペールの法則の微分形といいます。

この式は、電流密度j、つまり電流の周りを回転するように磁界Hが発生することを意味しています。

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