【電験3種】電磁気学の攻略ポイントと例題

電験3種(理論)における電磁気学の攻略ポイントと例題をまとめました。

【クーロンの法則】静電気と静電力

用語 意味
静電気 物質が帯びている電気のことです。
帯電(電気を帯びている) 正負いずれかの電荷が多い状態にあることです。
帯電体 帯電している物体です(大きさが無視できる帯電体を点電荷といいます)。
静電誘導 導体(電気をよく通す物体)に電荷を近づけたときに、反対の符号をもつ電荷が現れる現象です。(例えば、導体に正の電荷を近づけると、導体には負の電荷が現れます)
静電力 同じ符号をもつ電荷同士は引き合い、異なる符号をもつ電荷同士は反発します。このときの引き合ったり反発する力のこと。

静電力の計算式

(1)   \begin{eqnarray*} F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}=\frac{1}{4\pi \epsiron}\frac{Q_1Q_2}{r^2} \end{eqnarray*}

F:静電力[N]
Q1, Q2:2つの点電荷の電荷量[C]
k:比例定数[N・m^2/C^2]・・・・例えば真空中なら9×10^9
r^2:2つの点電荷の間の距離[m]
ε:誘電率
静電力と誘電率は反比例の関係にあります。つまり、真空に対して比誘電率εの絶縁体の液体で満たしたとき、小球の間に働く静電力は真空のときより1/ε倍だけ小さくなります

図で示すと以下のとおりです。

F1、F2はそれぞれ電荷Q1、Q2に働く静電力[N]です。

【電験3種】理論「クーロンの法則」の攻略ポイントと例題
電験3種(理論)における「クーロンの法則」の攻略ポイントと例題をまとめました。

【電界】静電気と静電力、電気力線

電界とは、電荷が周囲に生じさせる、静電力が働く空間のことです。
電界の強さ(量記号E、単位V/m)とは、電界中で単位電荷(1C)あたりに働く静電力のベクトル(大きさと向き)のことです。
電界E[V/m]にある電荷[C]に働く静電力F[N]は以下の計算式で求まります。

(2)   \begin{eqnarray*} F=QE \end{eqnarray*}

電気力線は、以下のような正電荷(+Q)から出て負電荷(-Q)に吸い込まれる仮想の線です。

誘電率εとは、周囲の空間における電気力線の透かしにくさです。
電荷量Qの正電荷から出る電気力線の本数Nは以下の式で表せます。

(3)   \begin{eqnarray*} N=\frac{Q}{\epsilon} \end{eqnarray*}

つまり、電気力線の本数Nは電荷量に比例し、誘電率に反比例します。
電界の大きさは、単位面積あたりの電気力線の本数となります。
よって、点電荷からr[m]離れた点の電界の大きさは次式で計算できます。

(4)   \begin{eqnarray*} E=\frac{N}{4\pi r^2}=\frac{\frac{Q}{\epsilon}}{4\pi r^2} \end{eqnarray*}

{4\pi r^2}は半径rの球の表面積です。
点電荷Q1からr[m]離れた点の電界E1に、点電荷Q2をおいたときに働く静電力Fは次式で計算できます。

(5)   \begin{eqnarray*} F=Q_2E_1=Q_2\frac{\frac{Q_1}{\epsilon}}{4\pi r^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2} \end{eqnarray*}

k=\frac{1}{4\pi\epsilon}としたときのkを比例定数といい、以下の式で簡単に表す事が多いです。

(6)   \begin{eqnarray*} F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2} \end{eqnarray*}

電気力線の特徴
電気力線は正電荷から出て負電荷に吸い込まれる(途中で枝分かれしたり、消えたり、異なる線同士が結合したりしない)。
1本の電気力線は縮もうとするが、異なる電気力線同士は反発しあう
導体表面に対して垂直に出入りする(導体内部には存在しない)。
電気力線の接線の向きと、その点の電界の向きは一致する。線の1m^2あたりの密度は、その点の電界の大きさとなる。
導体外部の電気力線は、導体内部の空洞に入り込まず、外部の電界の影響は受けません。これを静電遮蔽といいます。

電界、電位、エネルギー

電位差V[V]とは、+1Cの点電荷が一様の電界E[V/m] に逆らって移動する仕事のことです。
よって、一様の電界E[V/m]中で、点電荷を点Aから点Bまで距離d[m]だけ動かしたとき、点Aと点Bの電位差V[V]は次のようになります。

(7)   \begin{eqnarray*} V=Ed \end{eqnarray*}

よって、点電荷Q[C]からr[m]離れた点の電位V[V]は次式で計算できます。

(8)   \begin{eqnarray*} V=Ed=\frac{Q}{4\pi r^2}r=\frac{Q}{4\pi r} \end{eqnarray*}

エネルギーW[J]が大きいほど、点電荷の電位を上げることができます。
+1Cの点電荷が一様の電界E[V/m] に逆らって移動する仕事がV[V]なので、+Q[C] の点電荷を電位差V[V]だけ移動させるための仕事W[J]はVのQ倍になります。

(9)   \begin{eqnarray*} W=VQ \end{eqnarray*}

誘電分極

誘電体に電荷を近づけると、反対の符号をもつ電荷が誘電体表面に現れること。

【電験3種】理論「電界」の攻略ポイントと例題
電験3種(理論)における「クーロンの法則」の攻略ポイントと例題をまとめました。

【電界】電束と電束密度

用語 意味
電束φ[C] 電荷からQ本の仮想線が出ると考えたものです。※1本、2本でなく1C、2Cと数えます。
電束密度D[C/m2] ある面を垂直に貫く1m2あたりの電束です。

電束φと電束密度Dは、面積S[m2]は以下の関係式が成立します。

(10)   \begin{eqnarray*} D=\frac{\phi}{S} \end{eqnarray*}

電束φの本数は、誘電率ε(電気力線の透かしにくさ)を考慮しないため、電気力線の本数Nのε倍となります(単位面積あたりの密度もε倍)。
よって、電気力線の密度は電界の大きさEを示すため、電束密度Dは電界の大きさEのε倍となります。

(11)   \begin{eqnarray*} D=\epsilon E =\epsilon_0 \epsilon_r E \end{eqnarray*}

\epsilon_r:真空誘電率(8.85×10^{-12})
\epsilon_0:ある物質の誘電室\epsilonと真空誘電率\epsilon_rの比

【電験3種】理論「電束と電束密度」の攻略ポイントと例題
電験3種(理論)における「クーロンの法則」の攻略ポイントと例題をまとめました。

【磁界】磁力、磁力線

磁力線は,磁極の働きを理解するのに考えた仮想的な線で、以下の特徴をもちます。

主な特徴
磁力線は、磁石のN極から出てS極に入る
磁極周囲の物質の透磁率μ[H/m]は磁極m[Wb]から\frac{m}{\mu}本の磁力線が出入りする。
磁力線の接線の向きは、その点の磁界の向きを表す。
磁力線の密度は、その点の磁界の強さを表す(磁束密度と間違えないように注意)。
磁力線同士は、互いに反発し合い、交わらない。

【磁束、磁束鎖交数】自己インダクタンスLとの関係

説明
磁束 コイル1巻を貫く磁力線の本数
磁束鎖交数 N巻のコイル全体を貫く磁力線の本数

自己インダクタンス LN 巻コイルに電流 I を流すとき、磁束 \varphi [Wb]と磁束鎖交数 \Phi [Wb]は次式で計算できます。

(12)   \begin{eqnarray*}  \Phi=N\varphi=LI  \\  \varphi=\frac{LI}{N} \end{eqnarray*}

コイルに電流を流した時、コイルに発生する磁束鎖交数 \Phi [Wb]は、電流 I [A]に比例します。
この比例定数を自己インダクタンスL[H]といいます。

【磁束・磁束鎖交数】意味と計算式
磁束・磁束鎖交数の意味や計算式などについて解説します。

【ファラデーの電磁誘導】コイルと磁石を用いた電磁誘導

下図のように、①スイッチSWを閉じた状態で②磁石をコイルに近づけると、コイルには②磁束の変化を妨げる下向きに電流が流れる。
また、スイッチSWを開いた状態で、巻数Nのコイル断面を貫く磁束をt[秒]の間に⊿φ[Wb]だけ直線的に増加させると、磁束鎖交数はN⊿φ[Wb]だけ変化する。
また、このt[秒]の間にコイルに発生する誘導起電力の大きさe=N⊿φ/t[V]となる。

【電磁力】ローレンツ力

図2のように、中指を電流Iの向き、人差し指を磁界の向き(B,H)に合わせると、親指の方向に電磁力Fが働きます(※磁束密度と電流が直角のときに力が発生します)
磁束密度の大きさB[T]、電流の大きさI[A]、直線状導体の長さをl[m]とすると、電磁力Fの大きさは以下のようになります。

(13)   \begin{eqnarray*} F=IBl \end{eqnarray*}

図1のとき、電磁力が働くのは辺BCと辺DAに対してのみとなります(※磁束密度と電流が直角のときに力が発生します)
電磁力Fの大きさは、辺BCと辺DA(辺の長さはlとする)ともに「F=IBl」となります。
よって、正方形ループABCDは図1の点線を中心に右回りに回転することになり、そのモーメントM[N⋅m]は以下のようになります。

(14)   \begin{eqnarray*} M=2F\frac{h}{2}=IBl^2 \end{eqnarray*}

【環状ソレノイド】コイルの計算

環状ソレノイド内部において、コイルの巻数N、電流I 、磁路の平均長l、磁界の強さH、環状ソレノイドのとき、「アンペアの周回積分の法則」より以下の関係式が成り立ちます。

(15)   \begin{eqnarray*} NI=Hl \end{eqnarray*}

また、透磁率μの環状ソレノイド中の磁界の強さがHのとき、磁束密度の大きさB=μHとなるので以下の関係式となります。

(16)   \begin{eqnarray*} NI=\frac{B}{\mu}l \end{eqnarray*}

【ビオザバールの法則】円形導線の中心に発生する磁界

導体に電流Iが流れている時、導線の微小区間d\overrightarrow{l}d\overrightarrow{r}だけ離れた位置に磁界d\overrightarrow{H}を発生させます。このとき、磁界は以下の式で計算できます。

(17)   \begin{eqnarray*} d\overrightarrow{H}=\frac{1}{4\pi |r|^2}d\overrightarrow{l} \times \frac{\overrightarrow{r}}{|r|} \end{eqnarray*}

これをビオザバールの法則と言います。

円形導線の中心の磁界


半径rの円形導線に電流Iが流れているとします。
この時、円形導線の中心に発生する磁界Hをビオザバールの法則で求めると以下のようになります。

(18)   \begin{eqnarray*} H=\frac{1}{4\pi r^2}2\pi rI = \frac{I}{2r} \end{eqnarray*}

【ビオザバールの法則】磁界の計算式
ビオザバールの法則による磁界の計算式についてまとめました。

【アンペールの法則】電流とその周囲に発生する磁界(磁場)


アンペールの法則とは、電流とその周囲に発生する磁界(磁場)の関係をあらわす法則です。
1820年にフランスの物理学者アンドレ・マリー・アンペールによって発見されました。
直線導体に電流Iを流すと電流の方向を右ネジの進む方向として、右ネジの回る向きに磁界(磁場)Hが発生します。

(19)   \begin{eqnarray*} H=\frac{I}{2\pi r} \end{eqnarray*}

ここで、rは円形領域Sの半径です。

【アンペールの法則】積分形と微分形
アンペールの法則(微分形・積分形)の計算式とその導出方法についてまとめています。

【磁気回路オームの法則】磁気回路と電気回路の関係性

磁気抵抗 R_m 、磁束 \varphi 、起磁力 F は以下の関係があります。

(20)   \begin{eqnarray*} F=R_m \varphi \end{eqnarray*}

これを磁気回路オームの法則といいます。
電流 I が流れている N 巻コイルの起磁力 F [A]は以下の式で計算できます。

(21)   \begin{eqnarray*} F=NI \end{eqnarray*}

また、 磁路の長さをL[m] 、断面積を S[m^2] 、透磁率を \mu[H/m] とするとき、磁気抵抗 R_m は次式で表せる。

(22)   \begin{eqnarray*} R_m = \frac{L}{\mu S} \end{eqnarray*}

磁気回路と電気回路の関係性

磁気回路オームの法則は電気回路の場合とは以下のような関係性があります。

電気 磁気
電源(電池) 磁石
回路(銅線などの導体) 磁性材(鉄など)
抵抗(豆電球) エアギャップ
電流I[A] 磁束\varphi[Wb]
電場E[V/m] 磁場H[A/m])
電流密度J=\frac{I}{S} 磁束密度B=\frac{\varphi}{S}
起電力V[V] 起磁力F[A]
電気抵抗R[Ω]) 磁気抵抗R_m[H^{-1}]
導電率\sigma [S/m] 透磁率\mu [H/m]
抵抗率\phi[Ω・m] パーミアンス係数p[H/m]
電気回路オームの法則V=RI 磁気回路オームの法則F=R\varphi

ただし、 L[m] は導体の長さ、 S[m^2] は導体の断面積です。
この置換えを覚えておけば、磁気回路オームの法則も思い出しやすくなります。

磁気回路オームの法則の意味・計算式
磁気回路オームの法則の意味や公式について解説します。

【BH曲線】磁性体の磁束密度Bと磁界の強さHの関係を示した曲線

磁性体の磁束密度Bと磁界の強さHの関係を示した曲線をBH曲線(磁化曲線)といいます。
ある鉄心にコイルを巻いてリアクトルを製作し、電源電圧を印加すると上図ような軌跡が確認されます。
コイル電流が最大のときの点はループ右上(B及びHが最大)です。
電源電圧の実効値が一定に保たれたまま周波数がやや低下したとき、ヒステリシスループの面積は大きくなります
周波数が一定で、電源電圧実効値が低下したとき、ヒステリシスループの面積は小さくなります
コイル電流実効値が一定で、周波数がやや低下したとき、ヒステリシスループの面積はほとんど変わりません

パラメータ 説明
H 磁界の強さ[A/m]
B 磁束密度[T]
H_c 保磁力[A/m]
B_r 残留磁気[T]

用語|概要
–|–
ヒステリシス損|鉄心入りコイルやトランスに交流電流を流したときに、ヒステリシス曲線で囲まれた面積に比例して発生するエネルギーの損失
これをヒステリシス損といいます。
コイル、トランス|ヒステリシス曲線の面積が小さい磁性体の方が向いています。これは、磁界が0(コイルに流れる電流の瞬時値が0)になっても磁力が残る鉄心(磁性体)は、逆向きの電流が相当流れないとインダクタンスを持たないため効率が悪いからです。
永久磁石|ヒステリシス曲線の面積が大きい磁性体の方が向いています。これは、外部の磁界が0になっても磁力が強く残っていて欲しいためです。
※ヒステリシス曲線で囲まれた面積が大きい→B_rH_cが大きい
磁気遮蔽|磁界中に強磁性体を置くと、周囲の磁束は、磁束が通りやすい強磁性体の内部を通る。このとき、強磁性体を中空にしておくと、中空の部分には外部の磁界の影響がほとんど及ばない。このように、強磁性体でまわりを囲んで磁界の影響が及ばないようにすることを磁気遮蔽という。

BH曲線(磁化曲線)の見方・ヒステリシス曲線
BH曲線(磁化曲線)の見方についてまとめました。

【合成インダクタンス】計算方法と和動接続・差動接続


上図のようなトランスにおいて、2つのコイルが磁気的に結合して巻かれている時、合成インダクタンスは以下の式で求まります。

(23)   \begin{eqnarray*} L=L_1+L_2\pm 2M \end{eqnarray*}

ここで、L_1, L_2はそれぞれコイルA, Bの自己インダクタンス、Mは相互インダクタンスです。

和動接続・差動接続

合成インダクタンスの計算式を使うときに注意するのは、Mの前についている符号です。
この符号は、「コイルA, Bに同じ向きの電流を流した時の磁束(磁力線)の方向」で決まります。

条件 符号
磁束(磁力線)の向きが同じ 符号は+(和動接続)
磁束(磁力線)の向きが逆 符号は-(差動接続)

磁束(磁力線)の向きは「右手親指の法則」で簡単にわかります。
そのため、合成インダクタンスを計算するときは、コイルの巻き方向に注意する必要があります。
ちなみに上記の図の場合、端子A,Bに直流電圧を加えると2つのコイルの磁束(磁力線)の向きが異なるため差動接続となります。

【トランス】合成インダクタンス(和動接続と差動接続)
トランスにおける2つのコイルの合成インダクタンスの計算方法についてまとめました。

【静電誘導・電磁誘導】それぞれの違い

静電誘導と電磁誘導の違いは次の通りです。

概要
静電誘導 帯電した物体を導体に接近させると、帯電した物体に近い側に帯電した物体とは逆の極性の電荷が引き寄せられる現象です。
電磁誘導 磁界が変化すると、変化を妨げる向きに導体に誘導起電力や誘導電流が発生する現象です。
静電誘導と電磁誘導の違い
静電誘導と電磁誘導の違いについてまとめました。

【コンデンサ】平行板、球状導体

主な特徴
誘電体内の電界の大きさEは、誘電率εに関係なく一定(E=V/dより)
誘電体内の電束密度Dの大きさは、誘電率εに関係なく、電極板の単位面積当たりの電荷量Qの大きさに等しい(ガウスの定理)。
静電エネルギーは誘電体内に蓄えられ、電極板の面積を大きくすると静電エネルギーは増大する。

電荷Q[C]からはQの電束が出ます。
静電容量(電気容量)とは、コンデンサに蓄えられる電荷量です。
帯電体の電位と帯電量は、以下の関係となります。

(24)   \begin{eqnarray*} Q=CV[C] \end{eqnarray*}

この比例定数C[F]を静電容量といい、電荷量が1Cで電位差が1Vの場合、1Fとなります。

球状導体

誘電率epsilonの空間にある点電荷Q[C]からr[m]離れた点の電位V[V]は次式で計算できます。

(25)   \begin{eqnarray*} V=\frac{Q}{4\pi \epsilon r} \end{eqnarray*}

よって、誘電率epsilonの空間に球状導体(半径r[m])に電荷[Q]を与えたときの静電容量は以下のようになります。

(26)   \begin{eqnarray*} C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{Q}{4\pi \epsilon r}}=4\pi \epsilon r \end{eqnarray*}

電束密度

電束密度D[C/m2]とは、単位面積(1m2)当たりの電束数で、比誘電率に比例し以下の式で計算されます。

(27)   \begin{eqnarray*} D=\epsilon E \end{eqnarray*}

同心球状導体

同心球導体とは、同じ中心をもつ大小2つの球殻がある導体です。
外球を接地し、内球と外球の間にある空間の誘電率は\epsilonとします。
内球の半径をr_1, 外球の半径をr_2とするとき、内球外面の電位をV_1[V]、外球内面の電位をV_2[V]とすると、電位差V_{12}[V]は次式で表されます。

(28)   \begin{eqnarray*} V_1=\frac{Q}{4\pi \epsilon r_1}\\ V_2=\frac{Q}{4\pi \epsilon r_2}\\ V_{12}=V_1 - V_2 = \frac{Q}{4\pi \epsilon}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}) \end{eqnarray*}

したがって、同心球導体の静電容量C[F]は、次式で表されます。

(29)   \begin{eqnarray*} C_{12}=\frac{Q}{V_{12}}=\frac{Q}{\frac{Q}{4\pi \epsilon}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})}=\frac{4\pi \epsilon r_1 r_2}{r_2-r_1} \end{eqnarray*}

電束密度D[C/m2]とは、単位面積(1m2)当たりの電束数で、比誘電率に比例し以下の式で計算されます。

(30)   \begin{eqnarray*} D=\epsilon E \end{eqnarray*}

平行導体板①通常

平行導体板とは、以下のように2枚の導体板(面積S[m^2])が平行にあるものです。

極板間の電場の強さをE[V/m]とし、1m^2当たりの電気力線の本数をE本とすると、極板から出る電気力線の本数はES本となります。また、ガウスの法則より、Q[C]の電荷が蓄えられたコンデンサーの極板間の電気力線の総数はQ/ε本となります。
よって、以下の関係式が成り立ちます。

(31)   \begin{eqnarray*} \frac{Q}{\epsilon} = ES \end{eqnarray*}

電束密度D[C/m2]とは、単位面積(1m2)当たりの電束数で、誘電率εに比例し以下の式で計算されます。

(32)   \begin{eqnarray*} D=\epsilon E \end{eqnarray*}

※電束密度が等しいとき、誘電率εが大きいほど電界Eは小さくなる

「Q/ε=ES」と「V=Ed」より電位差は以下の式になります。

(33)   \begin{eqnarray*}  V=Ed=\frac{\frac{Q}{\epsilon S}}d \end{eqnarray*}

上式をQとVの関係式に変換します。

(34)   \begin{eqnarray*} Q = \epsilon\frac{S}{d}V \end{eqnarray*}

Q=CVより静電容量は以下のようになります。

(35)   \begin{eqnarray*} C=\epsilon\frac{S}{d} \end{eqnarray*}

平行平板コンデンサの静電エネルギーWは以下の式で計算できます。

(36)   \begin{eqnarray*} W=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}QV=\frac{Q^2}{2C} \end{eqnarray*}

※Q=CVの関係より展開

平行導体板②2つの誘電体が並列

同じ寸法の直方体で誘電率の異なる2つの誘導体(誘電率ε1、ε2)が平行板コンデンサに充填されている。
極板間は一定の電圧V[V]と電界Eに保たれ2つの極板にはそれぞれ+Q[C], -Q[C]の電荷が蓄えられている。
2つの誘電体それぞれの静電容量C1,C2は以下のようになる。

(37)   \begin{eqnarray*} C_1=\epsilon_1\frac{S_1}{d}\\ C_2=\epsilon_2\frac{S_2}{d} \end{eqnarray*}

全体の静電容量Cは以下のようになる。

(38)   \begin{eqnarray*} C=C_1 + C_1 = \frac{\epsilon_1S_1+\epsilon_2S_2}{d} \end{eqnarray*}

2つの誘電体それぞれの面S_1, S_2を貫く電気力線の総数はES_1, ES_2となる。
※面積S_1, S_2が同じであれば電気力線の総数も等しくなる(誘電体の比誘電率に依存しない)。

電束密度(D=εE)は誘電率ε1、ε2に比例するため同じにならない。それぞれの電束密度D1、D2は以下の式で計算できる。

(39)   \begin{eqnarray*} D_1=\epsilon_1 E\\ D_2=\epsilon_2 E \end{eqnarray*}

誘電率に関係なく、電荷Q[C]からはQの電束が出ます。

平行導体板③3つの誘電体が直列

同じ寸法の直方体で誘電率の異なる3つの誘導体(誘電率ε1、ε2、ε3)が平行板コンデンサに充填されている。
極板間は一定の電圧V[V]と電界Eに保たれ2つの極板にはそれぞれ+Q[C], -Q[C]の電荷が蓄えられている。

3つの誘電体それぞれの静電容量C1,C2, C3は以下のようになる。

(40)   \begin{eqnarray*} C_1=\epsilon_1\frac{S}{d_1}\\ C_2=\epsilon_2\frac{S}{d_2}\\ C_3=\epsilon_3\frac{S}{d_3} \end{eqnarray*}

全体の静電容量Cは以下のようになる。

(41)   \begin{eqnarray*} \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3} \end{eqnarray*}

3つの誘導体それぞれを貫く電気力線の総数はESとなり等しい。(直列だと面積Sは同じで、比誘電率に依存しないため)

電束密度(D=εE)は誘電率ε1、ε2、εに比例するため、それぞれの誘電体で異なる。それぞれの電束密度D1、D2、D3は以下の式で計算できる。

(42)   \begin{eqnarray*} D_1=\epsilon_1 E\\ D_2=\epsilon_2 E\\ D_3=\epsilon_3 E \end{eqnarray*}

また、比誘電率εに関係なく、電荷Q[C]からはQの電束が出ます。

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