【電験3種】コンデンサの静電容量、電気力線、電界の強さ、電束の本数

2021.08.23

電験3種におけるコンデンサの静電容量、電気力線、電界の強さ、電束の本数の計算式・例題についてまとめました。

【静電容量とは】コンデンサに蓄えられる電荷量

静電容量(電気容量)とは、コンデンサに蓄えられる電荷量です。

帯電体の電位と帯電量は、以下の関係となります。

(1)   \begin{eqnarray*} Q=CV[C] \end{eqnarray*}

この比例定数C[F]を静電容量といい、電荷量が1Cで電位差が1Vの場合、1Fとなります。

【球状導体】静電容量、電位、電束密度、電束の総数

誘電率epsilonの空間にある点電荷Q[C]からr[m]離れた点の電位V[V]は次式で計算できます。

(2)   \begin{eqnarray*} V=\frac{Q}{4\pi \epsilon r} \end{eqnarray*}

よって、誘電率epsilonの空間に球状導体(半径r[m])に電荷[Q]を与えたときの静電容量は以下のようになります。

(3)   \begin{eqnarray*} C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{Q}{4\pi \epsilon r}}=4\pi \epsilon r \end{eqnarray*}

電束密度

電束密度D[C/m2]とは、単位面積(1m2)当たりの電束数で、比誘電率に比例し以下の式で計算されます。

(4)   \begin{eqnarray*} D=\epsilon E \end{eqnarray*}

電束の総数

誘電率に関係なく、電荷Q[C]からはQの電束が出ます。

【同心球状導体】静電容量、電位、電気力線の本数、電束密度、電束の総数

同心球導体とは、同じ中心をもつ大小２つの球殻がある導体です。
外球を接地し、内球と外球の間にある空間の誘電率は\epsilonとします。
内球の半径をr_1, 外球の半径をr_2とするとき、内球外面の電位をV_1［V］、外球内面の電位をV_2［V］とすると、電位差V_{12}［V］は次式で表されます。

(5)   \begin{eqnarray*} V_1=\frac{Q}{4\pi \epsilon r_1}\\ V_2=\frac{Q}{4\pi \epsilon r_2}\\ V_{12}=V_1 - V_2 = \frac{Q}{4\pi \epsilon}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}) \end{eqnarray*}

したがって、同心球導体の静電容量C［F］は、次式で表されます。

(6)   \begin{eqnarray*} C_{12}=\frac{Q}{V_{12}}=\frac{Q}{\frac{Q}{4\pi \epsilon}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})}=\frac{4\pi \epsilon r_1 r_2}{r_2-r_1} \end{eqnarray*}

電束密度

電束密度D[C/m2]とは、単位面積(1m2)当たりの電束数で、比誘電率に比例し以下の式で計算されます。

(7)   \begin{eqnarray*} D=\epsilon E \end{eqnarray*}

電束の総数

誘電率に関係なく、電荷Q[C]からはQの電束が出ます。

【平行導体板①通常】静電容量、電位、電気力線の本数、電束密度、電束の総数

平行導体板とは、以下のように2枚の導体板(面積S[m^2])が平行にあるものです。

電気力線の本数

極板間の電場の強さをE[V/m]とし、1m^2当たりの電気力線の本数をE本とすると、極板から出る電気力線の本数はES本となります。また、ガウスの法則より、Q[C]の電荷が蓄えられたコンデンサーの極板間の電気力線の総数はQ/ε本となります。
よって、以下の関係式が成り立ちます。

(8)   \begin{eqnarray*} \frac{Q}{\epsilon} = ES \end{eqnarray*}

電束密度

電束密度D[C/m2]とは、単位面積(1m2)当たりの電束数で、誘電率に比例し以下の式で計算されます。

(9)   \begin{eqnarray*} D=\epsilon E \end{eqnarray*}

電束の総数

誘電率に関係なく、電荷Q[C]からはQの電束が出ます。

電位差

「Q/ε=ES」と「V=Ed」より電位差は以下の式になります。

(10)   \begin{eqnarray*} 　V=Ed=\frac{\frac{Q}{\epsilonS}}d \end{eqnarray*}

静電容量

上式をQとVの関係式に変換します。

(11)   \begin{eqnarray*} Q = \epsilon\frac{S}{d}V \end{eqnarray*}

Q=CVより静電容量は以下のようになります。

(12)   \begin{eqnarray*} C=\epsilon\frac{S}{d} \end{eqnarray*}

【平行導体板②2つの誘電体が並列】静電容量、電位、電気力線の本数、電束密度、電束の総数

同じ寸法の直方体で誘電率の異なる2つの誘導体(誘電率ε1、ε2)が平行板コンデンサに充填されている。
極板間は一定の電圧V[V]と電界Eに保たれ2つの極板にはそれぞれ+Q[C], -Q[C]の電荷が蓄えられている。
2つの誘電体それぞれの静電容量C1,C2は以下のようになる。

(13)   \begin{eqnarray*} C_1=\epsilon_1\frac{S_1}{d}\\ C_2=\epsilon_2\frac{S_2}{d} \end{eqnarray*}

全体の静電容量Cは以下のようになる。

(14)   \begin{eqnarray*} C=C_1 + C_1 = \frac{\epsilon_1S_1+\epsilon_2S_2}{d} \end{eqnarray*}

電気力線の本数

2つの誘電体それぞれの面S_1, S_2を貫く電気力線の総数はES_1, ES_2となる。
※面積S_1, S_2が同じであれば電気力線の総数も等しくなる(誘電体の比誘電率に依存しない)。

電束密度

電束密度(D=εE)は誘電率ε1、ε2に比例するため同じにならない。それぞれの電束密度D1、D2は以下の式で計算できる。

(15)   \begin{eqnarray*} D_1=\epsilon_1 E\\ D_2=\epsilon_2 E \end{eqnarray*}

電束の総数

誘電率に関係なく、電荷Q[C]からはQの電束が出ます。

【平行導体板③3つの誘電体が直列】静電容量、電位、電気力線の本数、電束密度、電束の総数

同じ寸法の直方体で誘電率の異なる3つの誘導体(誘電率ε1、ε2、ε3)が平行板コンデンサに充填されている。
極板間は一定の電圧V[V]と電界Eに保たれ2つの極板にはそれぞれ+Q[C], -Q[C]の電荷が蓄えられている。

3つの誘電体それぞれの静電容量C1,C2, C3は以下のようになる。

(16)   \begin{eqnarray*} C_1=\epsilon_1\frac{S}{d_1}\\ C_2=\epsilon_2\frac{S}{d_2}\\ C_3=\epsilon_3\frac{S}{d_3} \end{eqnarray*}

全体の静電容量Cは以下のようになる。

(17)   \begin{eqnarray*} \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3} \end{eqnarray*}

電気力線の本数

3つの誘導体それぞれを貫く電気力線の総数はESとなり等しい。(直列だと面積Sは同じで、比誘電率に依存しないため)。

電束密度

電束密度(D=εE)は誘電率ε1、ε2、εに比例するため、それぞれの誘電体で異なる。それぞれの電束密度D1、D2、D3は以下の式で計算できる。

(18)   \begin{eqnarray*} D_1=\epsilon_1 E\\ D_2=\epsilon_2 E\\ D_3=\epsilon_3 E \end{eqnarray*}

電束の総数

比誘電率に関係なく、電荷Q[C]からはQの電束が出ます。

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