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【ラプラス変換】RL直列回路の過渡応答

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この記事では、ラプラス変換でRL直列回路の過渡応答の式を求める方法についてまとめました。

RL回路(ラプラス変換)

V_i:入力電圧、R:抵抗値、L:コイルのインダクタンス、V_R:抵抗Rにかかる電圧、V_L:コイルLにかかる電圧、i:回路全体に流れる電流値)

RL直列回路の過渡応答の式をラプラス変換を用いて導出します。

キルヒホッフの定理より次式が成立します。

(1) \begin{eqnarray*} V_i = L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) \end{eqnarray*}

上式をラプラス変換すると

(2) \begin{eqnarray*} \frac{V_i}{s} = sLI(s)+ RI(s)=\frac{I(s)}{Ls+R}  \end{eqnarray*}

となります。(V_iはステップ応答)

この式を電流I(S)について変形すると

(3) \begin{eqnarray*} I(s)&=&\frac{V_i}{s(Ls+ R)}=\frac{\frac{V_i}{L}}{s(s+ \frac{R}{L})}=\frac{\frac{RV_i}{L}}{Rs(s+ \frac{R}{L})}\\ &=& \frac{V_i}{R} \left[ \frac{\frac{R}{L}}{s(s+\frac{R}{L})}\right]\\ &=& \frac{V_i}{R} \left[ \frac{\frac{R}{L}}{s(s+\frac{R}{L})}\right] \end{eqnarray*}

となります。ここで、上式を逆ラプラス変換すると回路全体に流れる電流i(t)

(4) \begin{eqnarray*} i(t) =\frac{V_i}{R} (1-V_i^{-\frac{R}{L}t}) \end{eqnarray*}

となります。(時間が経つと電荷はV_i/Rに収束)

抵抗Rにかかる電圧V_R(t)

(5) \begin{eqnarray*} V_R(t)=RI(t)=V_i (1-V_i^{-\frac{R}{L}t}) \end{eqnarray*}

となります。(時間が経つと入力電圧V_iに収束)

コイルLにかかる電圧V_L(t)はキルヒホッフの法則より

(6) \begin{eqnarray*} V_L(t)=V_i-V_R(t)V_i^{-\frac{R}{L}t} \end{eqnarray*}

となります。(証明終わり)

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