【RL直列回路とは】時定数、電流、電圧、ラプラス変換

この記事では、RL直列回路と時定数の関係についてまとめました。

【RL直列回路とは】時定数の意味

RL直列回路

時定数とは、緩和時間とも呼ばれ、回路の応答の速さを表す数値です。
(記号は\tau がよく用いられます)
時定数\tauと回路の応答の速さは「反比例」の関係にあります。
RL直列回路に流れる電流I、抵抗にかかる電圧V_R、コイルにかかる電圧V_Lと時定数\tauの関係は次式で表せます。

(1)   \begin{eqnarray*} i(t)&=& \frac{V_i}{R} (1-V_i^{-\frac{R}{L}t})\\ V_R(t)&=& V_i (1-V_i^{-\frac{R}{L}t})\\ V_L(t)&=& V_i^{-\frac{R}{L}t}\\ \tau&=& \frac{L}{R} \end{eqnarray*}

パラメータ 内容
V_i 入力電圧
R 抵抗値
L コイルのインダクタンス
V_R 抵抗Rにかかる電圧
V_L コイルLにかかる電圧
\tau 時定数(別名:緩和時間, 立ち上がり時間に比例

抵抗Rが大きくなると立ち上がり・下がり時間(定常状態に達するまでの時間)は短くなります。
逆にコイルのインダクタンスLが大きくなると立ち上がり・下がり時間(定常状態に達するまでの時間)は長くなります。

【電流】計算式とグラフ

【RL直列回路】

図のようなRL直列回路のコイルの電流式はつぎのようになります。

(2)   \begin{eqnarray*} i(t)&=& \frac{V_i}{R} (1-V_i^{-\frac{R}{L}t})\\ \tau&=&\frac{L}{R} \end{eqnarray*}

電流の式をグラフにすると以下のようになります。

電流は時間t=00となります。
そして、時間が経過して定常状態になると\frac{V_i}{R}になります。
抵抗Rが大きくなると立ち上がり時間(定常状態に達するまでの時間)は短くなります。
逆にコイルのインダクタンスLが大きくなると立ち上がり時間(定常状態に達するまでの時間)は長くなります。

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【抵抗電圧】計算式とグラフ


下図のようなRL直列回路の過渡応答の電圧式はつぎのようになります。

(3)   \begin{eqnarray*} V_R(t)&=&V_i (1-V_i^{-\frac{R}{L}t})\\ \tau&=&\frac{L}{R} \end{eqnarray*}

電圧式をグラフにすると以下のようになります。

抵抗にかかる電圧は時間0で0となります。
そして、時間が経過して定常状態になると入力電圧と等価(V_R=V_i)になります。
抵抗Rが大きくなると立ち上がり時間(定常状態に達するまでの時間)は短くなります。
逆にコイルのインダクタンスLが大きくなると立ち上がり時間(定常状態に達するまでの時間)は長くなります。

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【コイル電圧】計算式とグラフ


下図のようなRL直列回路のコイルの電圧式はつぎのようになります。

(4)   \begin{eqnarray*} V_L(t)&=&V_i^{-\frac{R}{L}t}\\ \tau&=&\frac{L}{R} \end{eqnarray*}

電圧式をグラフにすると以下のようになります。

抵抗にかかる電圧は時間t=0V_iとなります。
そして、時間が経過して定常状態になると0になります。
抵抗Rが大きくなると立ち上がり時間(定常状態に達するまでの時間)は短くなります。
逆にコイルのインダクタンスLが大きくなると立ち上がり時間(定常状態に達するまでの時間)は長くなります。

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【ラプラス変換】計算式の導出


V_i:入力電圧、R:抵抗値、L:コイルのインダクタンス、V_R:抵抗Rにかかる電圧、V_L:コイルLにかかる電圧、i:回路全体に流れる電流値)
RL直列回路の過渡応答の式をラプラス変換を用いて導出します。
キルヒホッフの定理より次式が成立します。

(5)   \begin{eqnarray*} V_i = L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) \end{eqnarray*}

上式をラプラス変換すると

(6)   \begin{eqnarray*} \frac{V_i}{s} = sLI(s)+ RI(s)=\frac{I(s)}{Ls+R}  \end{eqnarray*}

となります。(V_iはステップ応答)
この式を電流I(S)について変形すると

(7)   \begin{eqnarray*} I(s)&=&\frac{V_i}{s(Ls+ R)}=\frac{\frac{V_i}{L}}{s(s+ \frac{R}{L})}=\frac{\frac{RV_i}{L}}{Rs(s+ \frac{R}{L})}\\ &=& \frac{V_i}{R} \left[ \frac{\frac{R}{L}}{s(s+\frac{R}{L})}\right]\\ &=& \frac{V_i}{R} \left[ \frac{\frac{R}{L}}{s(s+\frac{R}{L})}\right] \end{eqnarray*}

となります。ここで、上式を逆ラプラス変換すると回路全体に流れる電流i(t)

(8)   \begin{eqnarray*} i(t) =\frac{V_i}{R} (1-V_i^{-\frac{R}{L}t}) \end{eqnarray*}

となります。(時間が経つと電荷はV_i/Rに収束)
抵抗Rにかかる電圧V_R(t)

(9)   \begin{eqnarray*} V_R(t)=RI(t)=V_i (1-V_i^{-\frac{R}{L}t}) \end{eqnarray*}

となります。(時間が経つと入力電圧V_iに収束)

コイルLにかかる電圧V_L(t)はキルヒホッフの法則より

(10)   \begin{eqnarray*} V_L(t)=V_i-V_R(t)V_i^{-\frac{R}{L}t} \end{eqnarray*}

となります。(証明終わり)

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