離散フーリエ変換の公式と意味

離散フーリエ変換の公式とその意味について紹介します。

2.2 離散フーリエ変換

離散フーリエ変換 (DFT) とは、離散信号に対して行うフーリエ変換です。

時系列信号 \(f\left(t\right)\) のある時間区間 (半開区間) \(\left[t_{0}, t_{0}+\Delta t\right) = \left\{t \mid t_{0} \le t < t_{0}+\Delta t\right\}\) 内の \(N\) 点をサンプリングしたものを \(x_{n}\) とします (ここで \(n \in \left\{n \in \mathbb{N} \mid 0 \le n < N\right\}\))。

\[x_{n} = f\left(t_{0}+\frac{n}{N}\Delta t\right)\]

\(x_{n}\) の離散フーリエ変換 \(X_{k}\) は次のようになります (ここで \(k \in \left\{k \in \mathbb{N} \mid 0 \le k < N\right\}\))。

\[X_{k} = \sum_{n=0}^{N-1}x_{n}\exp\left(-i\frac{2\pi}{N}kn\right)\]

離散フーリエ逆変換 (IDFT) は次のようになります (ここで \(n \in \left\{n \in \mathbb{N} \mid 0 \le n < N\right\}\))。

\[x_{n} = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_{k}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}kn\right)\]

シェア&フォローお願いします!