【画像処理】アフィン変換による回転の原理・計算式

この記事では、画像を拡大・縮小・回転させる「アフィン変換」の原理や計算方法についてまとめました。

アフィン変換とは
アフィン変換の式
回転の計算式
画像の回転
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アフィン変換とは

本ページの内容は以下動画で解説しています。

アフィン変換とは、平行移動と線形変換を組み合わせた変換です。
つまり、アフィン変換で画像の拡大・縮小、回転、移動などを行うことができます。

■入力画像（左）と出力画像（右）※アフィン変換で回転させた例

アフィン変換の式

2次元平面の場合、線形変換は元座標 $(x, y)$ に $2\times 2$ の行列を掛けることで表現できます。
平行移動は2次元ベクトルを $[t_x, t_y]^T$ 加算することで表現できます。

(1) $\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccccc} x' \\ y' \\ \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccccc} x \\ y \\ \end{array} \right]+\left[ \begin{array}{ccccc} t_x \\ t_y \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

ここで、 $(x',y')$ は変換後の座標です。
次のように $3 \times 3$ の行列を用いて、線形変換と平行移動の計算を1つの乗算にまとめることもできます。

(2) $\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccccc} x' \\ y' \\ 1 \\ \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccccc} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccccc} x \\ y \\ 1 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

回転の計算式

アフィン変換での回転だけを考えます。
原点 $(0, 0)$ で点 $(x, y)$ を角度 $\theta$ だけ回転した後の点 $(x', y')$ は次の式で計算できます。

(3) $\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccccc} x' \\ y' \\ \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccccc} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccccc} x \\ y \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

さらに展開すると次の式になります。

(4) $\begin{eqnarray*} x'=xcos\theta - ysin\theta \\ y'=xsin\theta + ycos\theta \end{eqnarray*}$

画像の回転

画像を回転する場合、原点 $(0, 0)$ ではなく画像の中心周りに回転させるのが一般的です。
そのため、画像の回転に利用する際は、以下の2点について考慮する必要があります。

–	説明
①	画像の中心を原点 $(0, 0)$ にするため、座標 $x, y$ から入力画像の幅 $w/2$ と高さ $h/2$ を引きます。
②	変換後の座標 $x', y'$ は、原点を $(0, 0)$ でなく出力画像の中心にするため、出力画像の幅 $w'/2$ と高さ $h'/2$ を加えます。