ラプラシアンフィルタの原理・特徴・計算式

画像処理におけるLaplacian Filter(ラプラシアンフィルタ)の原理や特徴、計算式についてまとめました。

ラプラシアンフィルタとは

ラプラシアンフィルタ(Laplacian Filter)は、二次微分を利用して画像から輪郭を抽出する空間フィルタです。以下の写真はラプラシアンフィルタにより画像から輪郭を抽出した例です。

■入力画像（左）、出力画像（右）

出力画像（フィルタを掛けた後）を見ると、輪郭の部分が白くなっている、つまり画素値が大きいことがわかります。ラプラシアンフィルタの主な特徴は以下のとおりです。

• 2回微分を行うため、一次微分を利用するフィルタ（ソーベルフィルタなど）と比べて、画素値の変化が激しい箇所を輪郭として強調できます。つまり、画素値の変化が緩やかな箇所（ボケているところ)は輪郭としてほとんど強調しません。
• 全ての方向の輪郭を一度の畳み込み演算で検出でき、計算量が少ない。（一次微分を利用するフィルタは、2回の畳み込み演算で縦方向と横方向の輪郭を検出し、さらにそれらの2乗和平方根を求める必要があります）
• 2回微分により画素値の変化が激しい箇所を強調するため、輪郭だけでなくノイズも強調しやすく、ノイズの影響を受けやすいです。そのため、メディアンフィルタやガウシアンフィルタ等の平滑化フィルタで前処理してノイズを抑えることが重要です。

解説動画

ラプラシアンフィルタのカーネルと仕組み

注目画素$I(x, y)$と周囲の画素値について考えます。

$$ I=\begin{bmatrix}I(x-1, y-1) & I(x, y-1) & I(x+1, y-1) \\ I(x-1, y) & I(x, y) & I(x+1, y) \\ I(x-1, y+1) & I(x, y+1) & I(x+1, y+1)\end{bmatrix} \quad $$

デジタル画像は離散データなので、微分は差分で計算することができます。
水平方向および垂直方向の画素値の一次微分$I_{x}, I_{y}$は次式で表せます。

$$ I_{x}(x, y)=I(x+1, y)-I(x, y) \\ I_{y}(x, y)=I(x, y+1)-I(x, y) $$

二次微分$I_{xx}, I_{yy}$はもう一度差分を取ることで計算できます。

$$I_{xx}(x, y)= \{I (x+1, y)-I(x, y) \} – \{ I(x, y)-I(x-1, y) \} \\= I(x-1, y)-2I(x, y)+I(x+1, y)$$

$$I_{yy}(x, y)= \{ I(x, y+1)-I(x, y) \} – \{ I(x, y)-I(x, y-1) \} \\= I(x, y-1)-2I(x, y)+I(x, y+1)$$

よって、ラプラシアン$\nabla^2I(x, y)$は以下のように表せます。

$$\nabla^2I(x, y)=I_{xx}(x, y)+I_{yy}(x, y) \\= I(x-1, y)+I(x, y-1)-4I(x, y) + I(x+1, y)+I(x, y+1)$$

ラプラシアン$\nabla^2I(x, y)$の計算結果からカーネル$K_4$は次のように求まります。

$$K_4= \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right]$$

上式はラプラシアンフィルタのカーネル（4近傍）となります。
ラプラシアンフィルタのカーネルは、4近傍（上下左右）だけでなく、斜め方向の2次微分も加えた8近傍$K_8$のカーネルも存在します。

$$K_8= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -8 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right]$$

4近傍と8近傍の違いは、「微分を取る近傍の画素数」です。

• 4近傍
  • 注目画素の上下左右の4画素の二次微分を取る
• 8近傍
  • 注目画素の上下左右だけでなく斜めも加えた8画素の二次微分を取る

最後に、輪郭画像$I'(x, y)$は次のように計算されます。

$$ I'(x, y) = I(x, y) \ast K $$

ここで、$\ast$は畳み込み演算を示します。

ラプラシアンフィルタの計算例

入力画像$I$とラプラシアンフィルタ（4近傍）のカーネル$K$が次のように与えられたとき、出力画像$I’$を求めよ。

$$I= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right], \quad K= \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right]$$

解説

入力画像$I$とカーネル$K$を畳み込み演算してやると以下のようになります。

$$I'(1,1)=(-4\cdot 10)+(1\cdot 10)=-30 \\ I'(2,1)=(-4\cdot 10)+(1\cdot 10)+(1\cdot 10)=-20 \\ I'(1,2)=(1\cdot 10)+(1\cdot 10)=20 \\ I'(2,2)=(-4\cdot 10)+(1\cdot 10)=-30$$

入力画像の端の画素値は0、0未満の画素値は0とすると、出力画像$I’$は次のようになります。

$$I’= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

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2024.07.06