【離散数学】2進数、基数、数値表現、演算精度、集合、ベン図、論理演算、命題

離散数学(2進数、基数、数値表現、演算精度、集合、ベン図、論理演算、命題など)について解説します。

【進数】2進数、10進数、16進数

種別 概要
2進数 【ビットシフト演算】計算処理の高速化
10進数
16進数 【16進数】計算方法

【ブール代数】

性質 式1 式2 性質の解説
単位元 A+1=1 A·1=A ブール代数では1が単位元です。命題変数と1との論理和(OR)は1であり、論理積(AND)はその命題変数と同一です。
零元 A+0=A A·0=0 ブール代数では0が零元です。命題変数と0との論理和(OR)はその命題変数と同一であり、論理積(AND)は0です。
補元 A+A=1 A·A=0 命題変数とその否定の命題変数は補元の関係にあるという。命題変数とその補元との論理和(OR)は1であり、論理積(AND)は0です。
交換律 A+B=B+A A·B=B·A 論理和(OR)の演算または論理積(AND)の演算において、それぞれの命題変数を交換しても同じです。
分配律 A+(B·C)=(A+B)·(A+C) A·(B+C)=(A·B)+(A·C) 複数の命題変数の項からなる論理演算の組み合わせにより、項を分配することができます。
結合律 A+(B+C)=(A+B)+C A·(B·C)=(A·B)·C 論理和(OR)の演算または論理積(AND)の演算において、それぞれの命題変数の計算の優先順位(結合)を変えても同じです。
吸収律 A+(A·B)=A A·(A+B)=A 複数の命題変数の項からなる論理演算の組み合わせにより、項を吸収することができます。
ド・モルガンの法則 A+B=A·B A·B=A+B 複数の命題変数の論理積(AND)全体の否定(NOT)は命題変数それぞれの否定(NOT)の論理和(OR)と等しく、複数の命題変数の論理和(OR)全体の否定(NOT)は命題変数それぞれの否定(NOT)の論理積(AND)と等しい。このことは否定(NOT)と組み合わせることで論理和(OR)と論理積(AND)が変換可能ですことを示している。
二重否定 A=A 命題変数の否定(NOT)の否定(NOT)は、元に戻ってその命題変数と同一です。
べき等 A+A=A A·A=A 同じ命題変数同士の論理和(OR)あるいは論理積(AND)は、その命題変数と同一です。

【基数】

変換 概要
小数(16進数)→分数(10進数) 16進数の小数を10進数で表すと小数第1位が1/16、小数第2位が(1/16^2=)1/256というように桁が小さくなるごとに1/16ずつ小さくなる

【数値表現】

負の整数表現には主に以下の3種類があります。

種別 概要
1の補数による表現 ●1の補数:全ビットを反転
2の補数による表現 ●2の補数:全ビット反転し、さらに1を加算(桁上がりさせる)
絶対値に符号を付けた表現 左端ビットが0の場合は正、1の場合は負
詳細 【2進数】1の補数、2の補数、絶対値+符号(負の整数表現の違い)

【演算精度】

【集合】

【ベン図】

【論理演算】

【命題】

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