【離散数学】2進数、基数、数値表現、演算精度、集合、ベン図、論理演算、命題

離散数学(2進数、基数、数値表現、演算精度、集合、ベン図、論理演算、命題など)について解説します。

【進数】2進数、10進数、16進数

用語 2進数
MSB Most Significant Bit(上位ビット)。「1000 0110 1101 0110」の上位4ビットというと「1000」を指します。
LSB Least Significant Bit(下位ビット)。「1000 0110 1101 0110」の下位4ビットというと「0110」を指します。
ビットシフト 【ビットシフト演算】計算処理の高速化
用語 10進数
詳細 BCDコード・ゾーン10進数・パック10進数

用語 意味
16進数 【16進数】計算方法

【ブール代数】

性質 式1 式2 性質の解説
単位元 A+1=1 A·1=A ブール代数では1が単位元です。命題変数と1との論理和(OR)は1であり、論理積(AND)はその命題変数と同一です。
零元 A+0=A A·0=0 ブール代数では0が零元です。命題変数と0との論理和(OR)はその命題変数と同一であり、論理積(AND)は0です。
補元 A+A=1 A·A=0 命題変数とその否定の命題変数は補元の関係にあるという。命題変数とその補元との論理和(OR)は1であり、論理積(AND)は0です。
交換律 A+B=B+A A·B=B·A 論理和(OR)の演算または論理積(AND)の演算において、それぞれの命題変数を交換しても同じです。
分配律 A+(B·C)=(A+B)·(A+C) A·(B+C)=(A·B)+(A·C) 複数の命題変数の項からなる論理演算の組み合わせにより、項を分配することができます。
結合律 A+(B+C)=(A+B)+C A·(B·C)=(A·B)·C 論理和(OR)の演算または論理積(AND)の演算において、それぞれの命題変数の計算の優先順位(結合)を変えても同じです。
吸収律 A+(A·B)=A A·(A+B)=A 複数の命題変数の項からなる論理演算の組み合わせにより、項を吸収することができます。
ド・モルガンの法則 A+B=A·B A·B=A+B 複数の命題変数の論理積(AND)全体の否定(NOT)は命題変数それぞれの否定(NOT)の論理和(OR)と等しく、複数の命題変数の論理和(OR)全体の否定(NOT)は命題変数それぞれの否定(NOT)の論理積(AND)と等しい。このことは否定(NOT)と組み合わせることで論理和(OR)と論理積(AND)が変換可能ですことを示している。
二重否定 A=A 命題変数の否定(NOT)の否定(NOT)は、元に戻ってその命題変数と同一です。
べき等 A+A=A A·A=A 同じ命題変数同士の論理和(OR)あるいは論理積(AND)は、その命題変数と同一です。

【基数】

変換 概要
小数(16進数)→分数(10進数) 16進数の小数を10進数で表すと小数第1位が1/16、小数第2位が(1/16^2=)1/256というように桁が小さくなるごとに1/16ずつ小さくなる

【数値表現】

負の整数表現には主に以下の3種類があります。

種別 概要
1の補数による表現 ●1の補数:全ビットを反転
2の補数による表現 ●2の補数:全ビット反転し、さらに1を加算(桁上がりさせる)
絶対値に符号を付けた表現 左端ビットが0の場合は正、1の場合は負
詳細 【2進数】1の補数、2の補数、絶対値+符号(負の整数表現の違い)

【演算精度】

【集合】

【ベン図】

【論理演算】

【命題】

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