【回転運動とは】位回転数と角速度、慣性モーメント

回転運動とは?位回転数と角速度、慣性モーメントについて紹介します。

【回転運動とは】

回転運動とは物体または質点が、ある一定の点や直線のまわりを一定角だけまわることです。
t秒間に物体がOの回りをθだけ回転したとき、θを角変位といい、回転速度(角速度)ωは以下のようになります。

(1) $\begin{eqnarray*} \omega=\frac{\theta}{t} ［rad/s］ \end{eqnarray*}$

回転半径r［m］の円周上(長さ2πr)を物体が速さv［m/s］で運動している場合、周期(1周するのにかかる時間)をT［s］とすると、速さv［m/s］は以下のようになります。

(2) $\begin{eqnarray*} v=\frac{2\pi r}{T} \end{eqnarray*}$

回転の速さを表す単位として、1秒あたり何ラジアン角度が変化するか表したものを角速度ω［rad/s］いい、以下の式が成り立ちます。

(3) $\begin{eqnarray*} \omega=\frac{2\pi}{T} \end{eqnarray*}$

よって、円周上の速さv［m/s］と角速度 ω［rad/s］の関係は以下のようになり、同じ角速度なら、半径が大きいほど、大きな速さを持つことになります。

(4) $\begin{eqnarray*} v=r\omega \end{eqnarray*}$

１分間に物体が回転する数を回転数N［rpm、min-1］といいます。
1［rpm］は、1分間に1回転(2π［rad］)することを示し、1秒間では1/60回転(2π/60［rad］)します。
よって、角速度と回転数の関係は次の式で表すことができます。

(5) $\begin{eqnarray*} \omega=\frac{2\pi N}{60} ［rad/s］ \end{eqnarray*}$

物体がある速度で運動したとき、この速度を維持しようとする力を慣性モーメントといいます。
質量m［kg］の物体が速度v［m/s］で運動しているときの仕事（運動エネルギー）は、次の式で表すことができます。

(6) $\begin{eqnarray*} W=\frac{1}{2}mv^2 ［J］ \end{eqnarray*}$

これを回転運動について考えます。上式と「v=rw」より

(7) $\begin{eqnarray*} W=\frac{1}{2}m(rw)^2 = \frac{1}{2}mr^2w^2 ［J］ \end{eqnarray*}$

となります。上式の中で $mr^2$ は物体の質量、回転運動の半径であり、回転数N(角速度ω)と関係のない定数です。
この値を回転軸に対する慣性モーメントJといいます。

(8) $\begin{eqnarray*} W=\frac{1}{2}Jw^2 ［J］ J=mr^2 ［J］ \end{eqnarray*}$

慣性モーメントJは、物体の回転の難しさを表わします。
この式から角加速度αで加速させるためのトルクが算出できます。