バイラテラルフィルタの原理・特徴・計算式

画像処理におけるバイラテラルフィルタ（Bilateral Filter）の原理や計算式についてまとめました。

バイラテラルフィルタとは

バイラテラルフィルタ（Bilateral Filter）は、画像のノイズ除去に用いられる空間フィルタの1つです。ノイズ除去を行いつつ輪郭を保持する優れた特性があります。これを実現するために、「空間的な距離」と「画素値の差」の両方に基づいて重み付けを行います。つまり、「画素値の差」が大きいところは、重みを小さくすることで、輪郭部分を保持します。

以下は、天体写真（オリオン大星雲、M42）に対してバイラテラルフィルタを適用した結果です。

■入力画像（左）と出力画像（右）

背景ノイズを除去しつつ、星雲の輪郭は保持されています。

カーネルと計算式

バイラテラルフィルタのカーネルは、「空間的な距離の差」と「画素値の差（明るさの差）」の両方に基づいて重み付けを行い、それらの2つの重みを掛け合わせて最終的な重みとします。具体的な計算方法は以下のとおりです。

① 「空間的な距離の差」に基づくガウス分布で重みを計算します。

$w_{s}(i,j) = e^{-\frac{(x_i – x_j)^2 + (y_i – y_j)^2}{2\sigma_s^2}}$

ここで、$(x_i, y_i)$ と $(x_j, y_j)$は注目画素$i$ と その近傍にある画素$j$のxy座標、$\sigma_s$は空間フィルタの標準偏差です。これにより、注目画素との距離が近い画素ほど強調されます。

② 「画素値の差」に基づくガウス分布で重みを計算します。

$w_{r}(i,j) = e^{-\frac{(I_i – I_j)^2}{2\sigma_r^2}}$

ここで、 $I_i$ と $I_j$ は注目画素 $i$ とその近傍にある画素 $j$ の画素値、 $\sigma_r$は輝度フィルタの標準偏差です。これにより、注目画素との画素値の差が大きい(輪郭部分)ほど重みが小さくなります。

③ 最終的なバイラテラルフィルタのカーネの要素$w(i,j)$は、これら2つの重みの積で計算されます。

$w(i,j) = w_{s}(i,j) \cdot w_{r}(i,j)$

これにより、注目画素との距離が近く、かつ画素値の差が小さい画素に対してぼかし効果が強くなり、ノイズ除去の効果が大きくなります。つまり、輪郭部分はぼかし効果を弱めることで、輪郭部分を保持しながらノイズ除去を行うことができます。

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2024.07.06