【制御理論】状態方程式と伝達関数の相互変換

この記事では、状態方程式と伝達関数を相互に変換する方法を紹介します。

状態方程式→伝達関数(伝達関数行列)

今回は、古典制御(伝達関数表現)と現代制御(状態方程式表現)の関係性を調べるために
伝達関数行列(状態方程式から伝達関数に変換)を求めます。

一般的に、状態方程式と出力方程式は以下のような式で表されます。

(1) \begin{eqnarray*} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t) \end{eqnarray*}

この2つの式をラプラス変換すると

(2) \begin{eqnarray*} sX(s)-X0(0)=AX(s)+BU(s)\\ Y(s)=CX(s)+DU(s) \end{eqnarray*}

となります。ここでX(0)=0として,状態方程式を出力方程式に代入してX(s)を消去すると

(3) \begin{eqnarray*} Y(s)=[D+C(SI-A)^{-1}B]U(S) \end{eqnarray*}

となります。よって伝達関数G(s)は

(4) \begin{eqnarray*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=D+C(SI-A)^{-1}B \end{eqnarray*}

となります。この伝達関数G(S)は伝達関数行列とも呼ばれます。

伝達関数→状態方程式

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