【制御理論】状態方程式と伝達関数の相互変換

この記事では、状態方程式と伝達関数を相互に変換する方法を紹介します。

状態方程式→伝達関数（伝達関数行列）

今回は、古典制御(伝達関数表現)と現代制御（状態方程式表現）の関係性を調べるために
伝達関数行列（状態方程式から伝達関数に変換）を求めます。

一般的に、状態方程式と出力方程式は以下のような式で表されます。

(1) $\begin{eqnarray*} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t) \end{eqnarray*}$

この2つの式をラプラス変換すると

(2) $\begin{eqnarray*} sX(s)-X0(0)=AX(s)+BU(s)\\ Y(s)=CX(s)+DU(s) \end{eqnarray*}$

となります。ここでX(0)=0として，状態方程式を出力方程式に代入してX(s)を消去すると

(3) $\begin{eqnarray*} Y(s)=[D+C(SI-A)^{-1}B]U(S) \end{eqnarray*}$

となります。よって伝達関数G(s)は

(4) $\begin{eqnarray*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=D+C(SI-A)^{-1}B \end{eqnarray*}$

となります。この伝達関数G(S)は伝達関数行列とも呼ばれます。

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