約数の個数の計算式・例・原理

数学

2017.05.082024.07.06

この記事では、約数の個数を求める方法と公式・原理について解説します。

約数の個数（公式）

ある自然数Yの約数の個数は以下の公式で求めることができます。

①自然数Mを素因数分解します。

(1) $\begin{equation*} M = a^x・b^y・c^z \end{equation*}$

②自然数Mの約数の個数Nは以下の式で計算できます。

(2) $\begin{equation*} N=(x+1)・(y+1)・(z+1) \end{equation*}$

自然数1200の約数の個数を求めてみます。

①1200を素因数分解します。

(3) $\begin{equation*} 1200=2^4・3^3・5^1 \end{equation*}$

②個数を計算式で求めます。

N=(x+1)・(y+1)・(z+1)=(4+1)・(3+1)・(1+1)=40個

例えば自然数1200について考えます。
素因数分解すると次のようになります。

(4) $\begin{equation*} 1200=2^4・3^3・5^1 \end{equation*}$

このとき、2の取り出し方は5通り（2^0～2^4）、3の取り出し方は4通り（3^0～3^3）、5の取り出し方は2通り(5^0～5^1)あります。
よって、組み合わせは全部で5・4・2=40通りあります。
この組み合わせの総数が約数の個数となります。