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約数の個数の計算式・例・原理

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この記事では、約数の個数を求める方法と公式・原理について解説します。

約数の個数(公式)

ある自然数Yの約数の個数は以下の公式で求めることができます。

①自然数Mを素因数分解します。

(1) \begin{equation*} M = a^x・b^y・c^z \end{equation*}

②自然数Mの約数の個数Nは以下の式で計算できます。

(2) \begin{equation*} N=(x+1)・(y+1)・(z+1) \end{equation*}

計算例

自然数1200の約数の個数を求めてみます。

①1200を素因数分解します。

(3) \begin{equation*} 1200=2^4・3^3・5^1  \end{equation*}

②個数を計算式で求めます。

N=(x+1)・(y+1)・(z+1)=(4+1)・(3+1)・(1+1)=40個

原理

例えば自然数1200について考えます。
素因数分解すると次のようになります。

(4) \begin{equation*} 1200=2^4・3^3・5^1 \end{equation*}

このとき、2の取り出し方は5通り(2^0~2^4)、3の取り出し方は4通り(3^0~3^3)、5の取り出し方は2通り(5^0~5^1)あります。
よって、組み合わせは全部で5・4・2=40通りあります。
この組み合わせの総数が約数の個数となります。

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