順列と組み合わせの違い・注意点

この記事では、順列と組み合わせの違い・注意点について解説します。

意味・計算式

順列とは、n個からk個を「順に取り出ときの選び方の総数」のことです。
組み合わせとは、n個からk個を「取り出ときの選び方の総数」のことです。
順列との違いは、順番は考慮しない点です。

【順列の計算】
n個が互いに異なる場合、順列は次式で計算できます。

(1) \begin{eqnarray*} ^{}_{n}P_k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray*}

【組み合わせの計算】
n個の異なるものからk個を取り出す総数は次式で計算できます。

(2) \begin{eqnarray*} ^{}_{n}C_k=\frac{nP_k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}

例題

①グループ名がない、同じ人数のグループ分け1

【問題文】
A, B, C, Dの4名を1人ずつ4つの組に分ける方法は何通りか。

【解答例】
組に名前がないので、区別できない。
よって、答えは「1通り」です。

(注意点)
組み合わせの公式そのまま使って

(3) \begin{eqnarray*} {}_4 \mathrm{C}_1 \cdot {}_3 \mathrm{C}_1 \cdot {}_2 \mathrm{C}_1 \cdot {}_1 \mathrm{C}_1 =24 \end{eqnarray*}

と間違えるケースがあります。
(A, B, C, Dの順列を求めてしまっている)

【ポイント】
「グループ名がない、同じ人数のグループ分け」の場合は、「選んだグループ数の順列」で割る必要があります。

(4) \begin{eqnarray*} \frac{ {}_4 \mathrm{C}_1 \cdot {}_3 \mathrm{C}_1 \cdot {}_2 \mathrm{C}_1 \cdot {}_1 \mathrm{C}_1 }{ 4! }=\frac{24}{24}=1 \end{eqnarray*}

②グループ名がない、同じ人数のグループ分け2

【問題文①】
A, B, C, D, E, Fの6人でダブルスチームを作る時、全部で何通りあるか。

【解答例】
・グループに名前がない
・同じ人数のグループ分け(ダブルスなので2人ずつ)

よって

(5) \begin{eqnarray*} \frac{{}_6 \mathrm{C}_2 \cdot {}_5 \mathrm{C}_2 \cdot {}_4 \mathrm{C}_2 \cdot {}_3 \mathrm{C}_2 \cdot {}_2 \mathrm{C}_2}{6!}=\frac{15\times 6 \times 1}{6}=15 \end{eqnarray*}

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