この記事では、離散フーリエ変換(DFT)の公式と原理について入門者向けに紹介します。
【計算式】離散フーリエ変換(DFT)
音楽や画像データはデジタルの周期信号です。
そのため、アナログの周期信号を前提とする「フーリエ変換」の計算式はそのまま利用できません。
つまり、フーリエ変換の元の式そのままではコンピュータで利用できません。
そこでコンピュータ上では「離散フーリエ変換(Discrete Fourier Transform)」と呼ばれる離散データ向けのフーリエ変換を使います。
離散周期信号を離散フーリエ変換する式は次のようになります。
(1)
ここで、はサンプル数、
は回転子(位相回転因子)です。
一方、離散逆フーリエ変換の式は次のようになります。
(2)
【数値例】離散フーリエ変換
次のようなアナログ周期信号を用意します。
(3)
ここで, Noiseは雑音とします。
次にアナログ周期信号をンプル数
、サンプリング周波数
でデジタル周期信号
に変換します。
そして、デジタル周期信号を離散フーリエ変換した結果は次の通りです。
右が入力信号、左が振幅スペクトル
です。
振幅スペクトルを見ると、周波数10, 20のピークが大きいことがわかります。
これは、入力信号に周波数10と20の周波数成分が多く含まれていることを表しています。
このように、振幅スペクトルから入力信号の周波数成分を解析できます。
サンプリング間隔が0.01なのでサンプリング周波数は100Hzとなります。
高周波側(80, 90Hz)のスペクトルは、0Hz~50Hzの正の周波数(sin)に対して、-50Hz~0Hzの負の周波数(cos)に相当する成分です。
入力信号が実数の場合、低周波側と高周波側のスペクトルは対称になりますが、複素数の場合は非対称になります。
【エイリアシング】サンプリング周波数、ナイキスト周波数
用語 | 概要 |
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サンプリング周波数![]() |
1秒間にサンプリングされるデータ数です。例えば、サンプリング周波数![]() |
ナイキスト周波数![]() |
サンプリングしたときに表現できる、周波数の最大値をナイキスト周波数![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
エイリアシング | サンプリング周波数![]() |
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