【DFT】離散フーリエ変換の原理・計算式

この記事では、離散フーリエ変換(DFT)の公式と原理について入門者向けに紹介します。

【計算式】離散フーリエ変換(DFT)

音楽や画像データはデジタルの周期信号です。
そのため、アナログの周期信号を前提とする「フーリエ変換」の計算式はそのまま利用できません。
つまり、フーリエ変換の元の式そのままではコンピュータで利用できません。

そこでコンピュータ上では「離散フーリエ変換(Discrete Fourier Transform)」と呼ばれる離散データ向けのフーリエ変換を使います。

離散周期信号f(n)を離散フーリエ変換する式は次のようになります。

(1)   \begin{eqnarray*} F(k)=\sum^{N-1}_{n=0}f(n)W^{kn}_N \end{eqnarray*}

ここで、Nはサンプル数、W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}は回転子(位相回転因子)です。
一方、離散逆フーリエ変換の式は次のようになります。

(2)   \begin{eqnarray*} f(n)=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{k=0}F(k)W^{-kn}_N \end{eqnarray*}

【数値例】離散フーリエ変換

次のようなアナログ周期信号f(t)を用意します。

(3)   \begin{eqnarray*} f(t)=sin(2\pi f_1t)+sin(2\pi f_2t)+Noise \end{eqnarray*}

ここでf_1=10, f_2=20, Noiseは雑音とします。
次にアナログ周期信号f(t)をンプル数N=256、サンプリング周波数f_s=100でデジタル周期信号f(n)に変換します。
そして、デジタル周期信号f(n)を離散フーリエ変換した結果は次の通りです。


右が入力信号f(n)、左が振幅スペクトル|F(k)|です。
振幅スペクトルを見ると、周波数10, 20のピークが大きいことがわかります。
これは、入力信号に周波数10と20の周波数成分が多く含まれていることを表しています。
このように、振幅スペクトルから入力信号の周波数成分を解析できます。

サンプリング間隔が0.01なのでサンプリング周波数は100Hzとなります。
高周波側(80, 90Hz)のスペクトルは、0Hz~50Hzの正の周波数(sin)に対して、-50Hz~0Hzの負の周波数(cos)に相当する成分です。
入力信号が実数の場合、低周波側と高周波側のスペクトルは対称になりますが、複素数の場合は非対称になります。

【エイリアシング】サンプリング周波数、ナイキスト周波数

用語 概要
サンプリング周波数f_s 1秒間にサンプリングされるデータ数です。例えば、サンプリング周波数f_sが100[Hz]ならば1秒間に100個の割合でデータを取得します。
ナイキスト周波数f_n サンプリングしたときに表現できる、周波数の最大値をナイキスト周波数f_nといいます。標本化定理よりサンプリング周波数f_sの半分となります。つまり、ナイキスト周波数f_nは正しく検出できる最大の周波数となります。例えば、サンプリング周波数f_s=100[Hz]なのでナイキスト周波数f_nは50[Hz]となります。高速フーリエ変換で周波数解析を正確に行うためには、入力信号の最大周波数の2倍以上のサンプリング周波数でサンプリングする必要があります。先程の数値例では入力信号の最大周波数が20[Hz]なので、サンプリング周波数は最低でも40[Hz]にすることになります。
エイリアシング サンプリング周波数f_sが不十分な場合(ナイキスト周波数f_n$より高い周波数の信号を標本化)、標本化した際に折り返し (エイリアシング) という現象を生じ、元信号に忠実に復元できません。
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