【フーリエ変換】計算式の原理・意味

この記事では、フーリエ変換の原理について入門者向けに紹介します。

フーリエ変換

フーリエ変換（Fourier Transform）とは、信号を時間領域から周波数領域に変換する処理です。
フーリエ変換では「一定の周期をもつ信号は複数の正弦波の和で表現できる」というフーリエ級数の性質を使って、周波数領域に変換します。
これにより、信号に「どのような周波数成分がどれだけ含まれているのか」を解析することができます。
変換後の信号、正弦波の和は $sin(wt)$ でなく、複素正弦波 $e^{jwt}$ を使うため、複素数で表現されます。

逆に、周波数領域に一度変換された信号を時間領域に戻すこともできます。
これを逆フーリエ変換（Inverse Fourier Transform）といいます。

フーリエ変換の計算式

任意の周期信号の時間領域を $f(t)$ 、（角）周波数領域を $F(w)$ とします。
このとき、フーリエ変換の式は次のようになります。

(1) $\begin{eqnarray*} F(w)=\int^{\infty }_{-\infty } f(t)e^{-jwt}dt \end{eqnarray*}$

$w$ は各周波数、 $t$ は時間、 $e$ はネイピア数です。
$F(w)$ は複素正弦波 $e^{-jwt}$ の和となります。
ここで $\vert F(w)\vert$ ， $\angle F(w)$ ， $\vert F(w)\vert^2$ をそれぞれ， $f(t)$ の振幅スペクトル，位相スペクトル，パワースペクトルといいます。

数値例

数値例として、

参考記事

–	フーリエ変換の原理に関してはこちら
①	フーリエ変換の原理・意味
②	逆フーリエ変換の原理・意味
③	離散フーリエ変換の原理・意味
④	高速フーリエ変換の原理・意味
⑤	【フーリエ変換】サンプリング周波数とナイキスト周波数の関係性・違い