筋骨格系の物理特性をニューラルネットワークと等価な数式で記述する身体化パーセプトロン表現を解説します。モーメントアーム行列や非線形弾性を用いた定式化から、神経系と身体構造の共設計手法までを整理しました。
はじめに
ロボットの運動制御では、高次元のニューラルネットワークにすべての計算を担わせる手法が広く用いられています。しかし、モデルの肥大化に伴って計算コストが増大するという課題が存在します。この課題を解決する手法として、以下の研究論文にて身体化パーセプトロン表現（Embodied Perceptron Representation）が提案されています。本記事ではそのメカニズムを読み解いて解説します。
- arXiv: Co-Design of Neural and Muscle Network Based on Embodied Perceptron Representation
- IEEE Xplore: Co-Design of Neural and Muscle Network Based on Embodied Perceptron Representation
- Researchmap: 増田容一 研究者情報および発表論文一覧
- https://www.themoonlight.io/ja/review/co-design-of-neural-and-muscle-network-based-on-embodied-perceptron-representation
身体化パーセプトロン表現の基本概念と先行研究との違い
生物やロボットの身体構造に情報処理の一部を分担させる概念は、形態計算や物理リザバー計算として研究されてきました。ただし、従来の物理リザバー計算では、身体内部の物理結合は固定されたブラックボックスとして扱われていました。そのため、学習によって調整できる対象は出力層の重みのみに限定されていました。
一方、Taoら（2026）は国際会議SII2026の発表論文において、筋骨格系をパーセプトロンとして明示的に定式化しました。この表現手法では、筋肉の配置や腱の非線形特性をニューラルネットワークの重みおよび活性化関数へ直接対応させます。これにより、身体構造と神経制御器を単一の計算グラフ上で同時に設計することが可能になりました。
以下表に、関連する先行研究の系譜と身体化パーセプトロン表現の相違点を示します。
| 研究領域 | 代表的な提唱者と時期 | 従来のモデルの扱い | 身体化パーセプトロン表現の特性 |
|---|---|---|---|
| 身体と制御の共設計 | Karl Sims（1994年）ほか | 物理方程式の身体と神経系を別モデルとして結合 | 筋骨格系と神経系を単一のパーセプトロン表現に統合 |
| 物理リザバー計算 | 中嶋浩平ら（2010年代） | 身体を固定された動的システムとし出力層のみ学習 | 身体を設計可能な重みと活性化関数を持つ層として定義 |
| 物理ニューラルネット | Logan G. Wrightら（2021年） | 光学系や電子回路の物理現象で深層学習を実行 | 筋骨格のモーメントアームと腱の特性を運動制御へ適用 |
| 腱駆動機構の解析 | F. J. Valero-Cuevasら（2010年代） | 生体力学の観点から腱機構の論理演算機能を解析 | 人工ニューラルネットと等価な数式へ変換し機械学習と直結 |
「身体化パーセプトロン表現」は、筋骨格系の力学特性が人工ニューラルネットワークのパーセプトロンと数理的に等価であることを利用しています。そして、身体構造そのものを情報処理層として定式化することで、神経回路と筋配置の同時最適化が可能になります。
筋骨格力学系とパーセプトロンの対応関係
物理要素とネットワーク要素の一対一対応
ロボットの関節数を $n$、筋肉（腱や弾性要素を含むアクチュエータ）の本数を $m$ と定義します。このとき、関節角度から筋張力を経て関節トルクへ至る物理的な入出力変換は、3層パーセプトロンの順伝播演算と一致します。
以下表に、筋骨格系の物理パラメータとニューラルネットワークの構成要素の対応関係を示します。
| 筋骨格系の物理要素 | 数式記号 | ニューラルネットワークの対応要素 | 情報処理上の機能 |
|---|---|---|---|
| 関節角度ベクトル | $\theta \in \mathbb{R}^n$ | 入力層ベクトル $x$ | 現在の身体姿勢データの入力 |
| モーメントアーム行列 | $R \in \mathbb{R}^{m \times n}$ | 入力層の重み行列 $W^{(1)}$ | 関節回転から各筋肉の伸縮量への線形分配 |
| 筋肉の初期変位ベクトル | $b \in \mathbb{R}^m$ | バイアスベクトル $b^{(1)}$ | 張力が発生し始める閾値（動作点）の調整 |
| 筋肉の伸び量ベクトル | $\Delta \ell \in \mathbb{R}^m$ | 隠れ層の線形結合出力 $z^{(1)}$ | 活性化関数へ入力される前の内部状態 |
| 筋・腱のたわみ特性 | $\phi(\cdot)$ | 活性化関数 $\text{ReLU}(\cdot)$ | 引張力のみを伝達する非線形整流作用 |
| 筋剛性係数行列 | $K \in \mathbb{R}^{m \times m}$ | スケーリング係数 | 変位に対する張力発生ゲインの調整 |
| 転置モーメントアーム行列 | $-R^\top \in \mathbb{R}^{n \times m}$ | 出力層の重み行列 $W^{(2)}$ | 各筋肉の張力から各関節トルクへの線形集約 |
| 関節駆動トルクベクトル | $\tau \in \mathbb{R}^n$ | 出力層ベクトル $y$ | 身体運動を駆動する最終的な制御出力 |
身体化パーセプトロンの数理定式化ステップ
標準的な1層隠れ層を持つパーセプトロンは、入力 $x$、重み $W^{(1)}, W^{(2)}$、バイアス $b$、活性化関数 $\phi$ を用いて式（1）〜式（3）で記述されます。
$$z^{(1)} = W^{(1)} x + b \tag{1}$$ $$a^{(1)} = \phi(z^{(1)}) \tag{2}$$ $$y = W^{(2)} a^{(1)} \tag{3}$$筋骨格系の力学モデルは、以下の手順1から手順3の変換を経ることで、式（1）〜式（3）と同一の構造に帰着します。
手順1: 関節角度から筋伸縮量への入力マッピング
関節角度ベクトルを $\theta \in \mathbb{R}^n$ とします。プーリの半径や骨格への付着位置で決まるモーメントアーム行列を $R \in \mathbb{R}^{m \times n}$、基準姿勢での初期伸びを $b \in \mathbb{R}^m$ と置きます。このとき、各筋肉の伸び量 $\Delta \ell$（内部状態 $z^{(1)}$）は式（4）の線形変換で表されます。
$$z^{(1)} = \Delta \ell = R \theta + b \tag{4}$$複数の関節をまたぐ多関節筋が存在する場合、行列 $R$ の該当行には複数の非ゼロ要素が含まれます。これは、複数の入力ノードから1つの隠れ層ノードへ信号が集約される全結合層の演算と数学的に同一です。
手順2: 腱のたわみ特性による非線形活性化
筋肉や腱、ワイヤーなどの柔軟要素は、引張時（$\Delta \ell \gt 0$）にのみ張力を発生します。圧縮時（$\Delta \ell \le 0$）にはたるみ（スラック）が生じるため、押し力は発生せず張力は0になります。この一方向性の物理的制約は、式（5）に示す正規化線形関数（ReLU）、または式（6）の二乗整流関数と一致します。
$$\phi(z) = \text{ReLU}(z) = \max(0, z) \tag{5}$$ $$\phi(z) = \text{ReLU}^2(z) = (\max(0, z))^2 \tag{6}$$筋肉の剛性（バネ定数）を対角成分に持つ行列を $K \in \mathbb{R}^{m \times m}$ とします。身体の姿勢変化によって受動的に生じる筋張力ベクトル $f_{\text{passive}} \in \mathbb{R}^m$ は、活性化関数 $\phi$ を用いて式（7）で定義されます。
$$f_{\text{passive}} = \phi(K z^{(1)}) \tag{7}$$手順3: 仮想仕事の原理による関節トルクへの出力マッピング
仮想仕事の原理に基づき、筋張力ベクトルが各関節に及ぼすトルク $\tau \in \mathbb{R}^n$ は、転置行列 $R^\top$ を乗じることで算出されます。上位の神経制御器から与えられる能動的な収縮力を $f_{\text{active}} \in \mathbb{R}^m$ とすると、最終的な関節トルク $\tau$ は式（8）で定式化されます。
$$\tau = R^\top \left( -\phi(K z^{(1)}) + f_{\text{active}} \right) = -R^\top \phi(K(R\theta + b)) + R^\top f_{\text{active}} \tag{8}$$式（8）の第1項である $-R^\top \phi(K(R\theta + b))$ は、入力 $\theta$ に対して重み $R$ とバイアス $b$ で線形変換を行い、非線形関数 $\phi$ を経て出力重み $-R^\top$ を乗じる構造を持っています。すなわち、入力重みと出力重みが転置関係にある重み共有（Tied Weights）型の3層パーセプトロンと恒等的に一致します。
神経回路と筋骨格ネットワークの共設計手法
計算グラフの統合とパラメータの同時最適化
式（8）の定式化を用いると、コンピュータ上の神経系と物理空間の筋骨格系を同一の計算グラフ上で直列・並列に接続できます。従来の制御手法では、目標トルクをすべて神経回路の演算によって算出していました。これに対し本手法では、身体側が内蔵するパーセプトロン構造を利用して、姿勢 $\theta$ に応じた復元トルクや関節間の協調トルクを物理現象として直接生成します。
物理シミュレータ（MuJoCo）を用いた実験では、進化計算アルゴリズムであるCMA-ES（共分散行列適応進化戦略）等を用いて、以下の2種類のパラメータ群を同時に最適化します。
- 筋骨格ネットワークの設計パラメータ：モーメントアーム行列 $R$ の各要素および初期変位ベクトル $b$
- 神経ネットワークの制御パラメータ：能動収縮力 $f_{\text{active}}$ を出力する小規模な神経回路の重み
行列 $R$ の要素の符号や数値を学習によって更新することは、単関節筋を多関節筋へ変更したり、屈筋を伸筋へ配置換えしたりする機械設計の変更を意味します。身体側のパラメータ $R$ と $b$ が運動タスクに適した値へ最適化されると、制御計算の大部分が筋骨格の物理レイヤーにオフロードされます。その結果、上位の神経制御器は単一ニューロンのような極小モデルであっても、車輪脚ロボット等の安定した運動制御が実現されます。論文の書誌情報および要旨については、arXivの論文ページ（Co-Design of Neural and Muscle Network Based on Embodied Perceptron Representation） を参照してください。
身体化パーセプトロン表現を用いた神経系と筋骨格系の共設計には、物理的な実装上の制約や数理モデルの表現力に関する課題が存在します。一方で、これらの課題を解決することで、省電力な自律ロボットの開発や生体運動の解明へ応用範囲が広がることが見込まれます。
主な問題点と技術的制約
重み共有の制約とモデル表現力の限界
通常の人工ニューラルネットワークでは、入力層の重み行列 $W^{(1)}$ と出力層の重み行列 $W^{(2)}$ を独立したパラメータとして自由に学習できます。しかし、筋骨格系では仮想仕事の原理に従うため、関節角度から筋変位への変換行列 $R$ と、筋張力から関節トルクへの変換行列 $-R^\top$ が必ず転置の関係（Tied Weights）になります。また、筋肉は引張力しか発生できないため、非負制約も伴います。この物理法則に起因する対称性の制約により、単一の筋骨格レイヤーで近似できる関数の種類は、一般的な多層パーセプトロンと比較して限定されます。
モーメントアームの定数近似と動的効果の省略
本研究の基本定式化では、モーメントアーム行列 $R$ を関節角度 $\theta$ に依存しない定数行列として扱っています。円形プーリを介してワイヤーを巻き取る機構であればこの仮定は成立しますが、実際の生物の骨格やリンク機構では、関節の回転に伴っててこの比（モーメントアーム）が非線形に変化します。また、筋肉や腱が持つ速度依存の粘性摩擦、ワイヤーの伸びによるヒステリシス、慣性力などの動的な物理現象がパーセプトロンの数式には含まれていません。そのため、高速な運動や大変形を伴う動作においては、数理モデルと実機の挙動に乖離が生じる要因となります。
物理的な配線実装とタスク変更への非柔軟性
シミュレータ上で最適化されたモーメントアーム行列 $R$ は、すべての関節と筋肉の間に緻密な結合重みを持つ密行列（Dense Matrix）になる場合があります。これを実機のロボットで再現しようとすると、多数の関節をまたぐ複雑なワイヤー配線やプーリ機構が必要となり、部品間の物理的な干渉や摩擦損失が増大します。さらに、ソフトウェア上のニューラルネットワークとは異なり、一度物理的な身体として筋配置を組み立ててしまうと、別のタスクへ転用する際に重み $R$ を即座に書き換えることができません。
今後の展望と発展の方向性
動的ダイナミクスとリカレント構造への拡張
静的な順伝播型パーセプトロンにとどまらず、筋肉の粘弾性要素（ダンパ特性）や時間遅れを数理モデルに組み込むことで、身体構造をリカレントニューラルネットワーク（RNN）や動的システムとして定式化する発展が考えられます。これにより、外部からの周期的な入力や衝撃に対して、時間的な履歴を保持しながら適応する運動制御が身体側で処理可能になります。
階層型アーキテクチャによる役割分担の最適化
物理的な筋骨格ネットワークは製作後の変更が困難であるという欠点を逆手に取り、生物の進化と学習のプロセスを模倣した階層設計への応用が期待されます。重力補償や姿勢の自己安定化、歩行の基礎リズムといった普遍的な運動機能を下位の筋骨格パーセプトロン（ハードウェア）に焼き付け、不整地の踏破や障害物回避といった状況依存のタスクのみを上位の神経ネットワーク（ソフトウェア）が学習する分担構造です。これにより、マイコン等のエッジデバイスでも動作する省電力・超軽量な自律ロボットの実現につながります。
自動設計・デジタルファブリケーションとの融合
シミュレータ上で導出された行列 $R$ やバイアス $b$ のパラメータから、干渉のない腱のルーティング経路やプーリ形状を自動生成するCADアルゴリズムとの連携が見込まれます。さらに、複数の素材を同時造形できるマルチマテリアル3Dプリンタ等を活用し、最適化された筋骨格ネットワークをそのまま一体造形する技術が確立されれば、タスクに応じた最適な身体と脳を同時に出力するロボット開発パイプラインが構築できます。
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