【画像処理】フーリエ変換の原理・実装例

画像処理におけるフーリエ変換について解説します。

フーリエ変換とは
画像処理におけるフーリエ変換
画像の振幅スペクトル
空間周波数領域の入れ替え
空間周波数フィルタリング
空間周波数フィルタの設計例と操作手順
【実行例】FFTとローパスフィルタを利用
【実装例】PythonとOpenCVで画像の高速フーリエ変換とローパスフィルタを実装
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フーリエ変換とは

フーリエ変換（Fourier Transform）とは、信号を時間領域から周波数領域に変換する処理です。
フーリエ変換では「一定の周期をもつ信号は複数の正弦波の和で表現できる」というフーリエ級数の性質を使って、周波数領域に変換します。
これにより、信号に「どのような周波数成分がどれだけ含まれているのか」を解析することができます。
変換後の信号、正弦波の和は $sin(wt)$ でなく、複素正弦波 $e^{jwt}$ を使うため、複素数で表現されます。

逆に、周波数領域に一度変換された信号を時間領域に戻すこともできます。
これを逆フーリエ変換（Inverse Fourier Transform）といいます。フーリエ変換の詳細については以下ページで解説しています。

【フーリエ変換】計算式の原理・意味

フーリエ変換の原理について入門者向けに紹介します。

画像処理におけるフーリエ変換

フーリエ変換は周波数解析ができる便利なデータ変換です。
画像に対しても利用できますが、周波数の考え方が通常の信号とは異なるので注意する必要があります。

通常の信号データ
- 周波数=単位時間内にどのくらい振動するか
画像データ
- 周波数=単位ピクセル内に画素値がどのくらい変化するか

よって、画像データの周波数は1[px]移動したときの画素値の変化が激しいほど高周波となります。画像処理でのフーリエ変換は「時間領域→周波数領域」ではなく「空間領域→空間周波数領域」となります。

また、画像データは2次元であり、水平方向と垂直方向の2つの空間周波数成分を持っています。
画像データに対する2次元FFTは次の手順で行います。

①画像データの水平方向に1次元FFTを行います。
②画像を転置し、再び水平方向に1次元FFTを行います。
③もう１度画像を転置すれば完成です。

手順①～③で結果的に画像データに対して水平方向と垂直方向に1次元FFTを行うことになります。

ただし、FFTを利用するには画像の縦横の画素数[px]が2の冪乗である必要があります。

画像の振幅スペクトル

振幅スペクトルとは

画像データに対して2次元FFT(手順①～③)を行うと次のような振幅スペクトルが得られます。

※プロ生ちゃんの画像をお借りして入力しました。

この振幅スペクトルは、中心から離れるに従って低周波数成分になるスペクトルで、画像データの周波数分布を表します。
画素値が大きい（白っぽい）ほど、その周波数成分が多く含まれていることになります。
つまり、中心付近に白い画素が集中するほど画像に高周波成分が多く含まれることを意味します。
（逆に、四隅付近に集中すれば低周波数成分が多く含まれる）

このように画像の振幅スペクトルからも（空間）周波数成分の解析ができます。

空間周波数領域の入れ替え

振幅スペクトルを利用する場合、第1象限と第3象限、第2象限と第4象限を入れ替えて利用するのが一般的です。
その際、中心から離れるに従って高周波数成分となるスペクトルへ変換されます。
入れ替えにより、後述する空間周波数フィルタリングを簡単に行うことができるようになります。

■入れ替えた例

空間周波数フィルタリング

空間周波数フィルタリングでは、画像から特定の周波数成分のみを取り出します。
代表的なものは「ローパスフィルタ」「ハイパスフィルタ」「バンドパスフィルタ」です。

ローパスフィルタ
- 低周波数成分のみを通過させるフィルタ
- 画像のノイズ除去など
ハイパスフィルタ
- 高周波成分のみを通過させるフィルタ
- 画像の輪郭、特徴点抽出など
バンドパスフィルタ
- 特定範囲の周波数成分のみを通過させるフィルタ
- 画像のデータ圧縮など（見た目の影響が少ない成分を除去）

空間周波数フィルタの設計例と操作手順

周波数領域の象限を入れ替えることで次のように空間周波数フィルタリングを簡単に行うことができます。

ローパスフィルタ(a)では、中心付近にある低周波数成分のみを通過させます。
一方、ハイパスフィルタ（b）では端の方にある高周波数成分のみを通過させます。
プログラムで実装する場合、カットする領域のスペクトルのみを0にします。