【QR法】固有値の計算方法

この記事では、QR法で行列の固有値を計算する方法ついて解説します。

QR分解とは

QR分解とは、線形代数において行列を直交行列Qと、上三角行列Rの積に分解する手法です。

(1) $\begin{eqnarray*} X =QR \end{eqnarray*}$

n次元の行列Aを定義します。
そして、

(2) $\begin{eqnarray*} A_1 = A \end{eqnarray*}$

とおきます。そして、

(3) $\begin{eqnarray*} A_k &=& Q_k R \\ A_{k+1} &=& R_k Q_k = Q^{-1}_{k-1} A_k Q_k=Q_k^TA_kQ_k\\ ( k &=& 1 , 2 , ⋯ , m ) \end{eqnarray*}$

とQR分解と対角化（ $Q^TAQ$ ）を繰り返していきます。
このとき、このとき、 $A_1, A_2, ...., A_k$ の固有値はすべて一致します。
つまりこれを何度も繰り返すことで、対角化すればその対角成分を調べる事で行列Aの固有値を知ることができます。