k1sinθ+k2cosθ=k3の解

k1sinθ+k2cosθ=k3の解を求める方法ついて紹介します。

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k1sinθ+k2cosθ=k3の解の導出
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k1sinθ+k2cosθ=k3の解の導出

【定理1】
\begin{eqnarray} k_1sin\theta+k_2cos\theta=k_3 \end{eqnarray}

の解は，つぎの式になります。

\begin{eqnarray} \theta =atan2(k_1,k_2) \pm atan2( \sqrt{k_1^2+k_2^2-k_3^2} ,k_3) \end{eqnarray}

【証明】
\begin{eqnarray} \phi =atan2(k_1,k_2) \end{eqnarray}

より

\begin{eqnarray} \phi- \theta &=& atan2{sin(\phi- \theta),cos(\phi- \theta)} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \theta &=& \phi -atan2{sin(\phi- \theta),cos(\phi- \theta)} \end{eqnarray}

ここで，$sin(\phi- \theta), cos(\phi- \theta)$を求めることを考えます。図より

\begin{eqnarray} k_1=\sqrt{k_1^2+k_2^2}sin\phi \end{eqnarray} \begin{eqnarray} k_2=\sqrt{k_1^2+k_2^2}cos\phi \end{eqnarray}

なので

\begin{eqnarray} (\sqrt{k_1^2+k_2^2}sin\phi )sin\theta+(\sqrt{k_1^2+k_2^2}cos\phi )cos\theta = k_3 \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \sqrt{k_1^2+k_2^2}(sin\phi sin\theta+cos\phi cos\theta) = k_3 \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \sqrt{k_1^2+k_2^2}cos(\phi- \theta) = k_3 \end{eqnarray} \begin{eqnarray} cos(\phi- \theta) = \frac{k_3}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}} \end{eqnarray}

また，$sin^2\theta+cos^2\theta=1$より

\begin{eqnarray} sin(\phi- \theta) &=& \pm \sqrt{1-cos(\phi- \theta)^2} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} &=& \pm \sqrt{1-\frac{k_3^2}{k_1^2+k_2^2}}\ \end{eqnarray} \begin{eqnarray} &=& \pm \sqrt{\frac{k_1^2+k_2^2-k_3^2}{k_1^2+k_2^2}} \end{eqnarray}

$sin(\phi- \theta), cos(\phi- \theta)$が求まったので

\begin{eqnarray} \theta =\phi -atan2(\pm {\frac{\sqrt{k_1^2+k_2^2-k_3^2}}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}},\frac{k_3}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}) \end{eqnarray}

$\sqrt{k_1^2+k_2^2}>0$より分母を消去すると

\begin{eqnarray} \theta = \phi -atan2(\pm \sqrt{k_1^2+k_2^2-k_3^2},k_3) = \phi \pm atan2(\sqrt{k_1^2+k_2^2-k_3^2},k_3) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \theta = atan2(k_1,k_2) \pm atan2(\sqrt{k_1^2+k_2^2-k_3^2},k_3) \end{eqnarray}

（証明終わり）