ロール・ピッチ・ヨー角による姿勢変換行列

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この記事では、ロール・ピッチ・ヨー角による姿勢表現について紹介します。

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ロール・ピッチ・ヨー角による姿勢表現

乗り物やロボットなどの姿勢は、オイラー角と呼ばれる3つの回転軸を使って表現されます。

この3つの回転軸は、ロボットでは$\alpha 、\beta 、\gamma$(軸の取り方は色々)、物理学では$z-y-z$,乗り物ではロール・ピッチ・ヨーで表されますが、これらは基本的に同じです。

ロール角(γ)・・・x軸(物体の前後)を回転軸とする回転角
ピッチ角(β)・・・y軸(物体の左右)を回転軸とする回転角
ヨー角(α)・・・z軸(物体の上下)を回転軸とする回転角

ロール・ピッチ・ヨーを飛行機で表すと以下のようになります。

index

※1. 対象とする物体は、乗り物など前後・左右・上下が決まった物である必要があります。

※2. 回転の向きは右ねじが軸方向に進むときに右ねじが回る向きです。

αγβの姿勢変換行列

3つの座標軸$(x, y, z)$まわりに順に$(\alpha , \beta , \gamma)$回転させることにより姿勢の変換を表現します。

このとき、$\alpha , \beta , \gamma$の変換行列$R_{\alpha \beta \gamma}$はつぎのようになります。

\begin{eqnarray}
R_{\alpha \beta \gamma}&=&R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)\\
&=&
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & C_\alpha & -S_\alpha \\
0 & S_\alpha & C_\alpha \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
C_\beta & 0 & S_\beta \\
0 & 1 & 0 \\
-S_\beta & 0 & C_\beta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
C_\gamma & -S_\gamma & 0 \\
S_\gamma & C_\gamma & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}\\
&=&
\begin{bmatrix}
C_\beta C_\gamma & -C_\beta S_\gamma & S_\beta \\
S_\alpha S_\beta C_\gamma + C_\alpha S_\gamma & -S_\alpha S_\beta S_\gamma + C_\alpha C_\gamma & -S_\alpha C_\beta \\
-C_\alpha S_\beta C_\gamma + S_\alpha S_\gamma & C_\alpha S_\beta S_\gamma + S_\alpha C_\gamma & C_\alpha S_\beta \\
\end{bmatrix}
\label{1}
\end{eqnarray}

この式を使えば、3つの回転角から変換行列を求めることが出来ます。

ただし、

\begin{eqnarray}
S_\alpha=sin(\alpha ), C_\alpha=cos(\alpha )\\ S_\beta=sin(\beta ), C_\beta=cos(\beta )\\ S_\gamma=sin(\gamma ), C_\gamma=cos(\gamma )
\end{eqnarray}

です。

■関連記事:ロボット工学入門 基礎編

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