【2変数】基本対称式・対称式の関係と問題例

この記事では、2変数の基本対称式の式と証明などについて解説します。

基本対称式

2変数x, yの基本対称式はx+y、xyの2つです。
これらを使って2変数の全ての対称式を表すことができます。

【公式①】
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

【公式②】
$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$

【公式③】
$x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})$

【公式④】
$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$

x+y、xyの値が与えられて、公式①②を用いて $x^n+y^n$ を求めるという問題が多いです。

【問題例①】
x+y=2、xy=1のとき、 $x^2+y^2$ の値を求めよ。

【解答例①】
公式①より
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=2^2-2=2$