シェアする

【行列】n乗の計算式・問題例・証明

スポンサーリンク
ビッグバナー(上2)

この記事では、ある行列Aのn乗の計算式・問題例などについて解説します。

n乗の計算式

ある行列Aについて考えます。
逆行列をもつある行列Pを用いて

(1) \begin{eqnarray*} P^{-1}AP=\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 &  \beta \\ \end{bmatrix} =B \end{eqnarray*}

と変形できるとき、A^n

(2) \begin{eqnarray*} A^n=PB^nP^{-1} \end{eqnarray*}

で計算できます。

証明

(3) \begin{eqnarray*} B^n=(P^{-1}AP)^n=P^{-1}APP^{-1}AP.....P^{-1}AP=P^{-1}A^nP =\begin{bmatrix} \alpha^n & 0 \\ 0 &  \beta^n \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}

となります。よって、A^n

(4) \begin{eqnarray*} A^n=PB^nP^{-1} \end{eqnarray*}

で求めることが出来ます。

問題例

【問題例①】

(5) \begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -4 & -15 \\ 2 &  7 \\ \end{bmatrix}, P=\begin{bmatrix} -5 & 3 \\ 2 &  1 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}

B=P^{-1}APについて、

(6) \begin{eqnarray*} B^n=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (\frac{1}{2})^n \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}

であるとき、\lim_{n \to \infty}A^nを求めよ。

【解答例①】

(7) \begin{eqnarray*} P^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2& 5 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}

よって

(8) \begin{eqnarray*} A^n=PB^nP^{-1}=\begin{bmatrix} -5+6(\frac{1}{2})^n & -15+15(\frac{1}{2})^n \\ 2-2(\frac{1}{2})^n & 6-5(\frac{1}{2})^n \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}

よって、

(9) \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} A^n=\begin{bmatrix} -5 & -15 \\ 2 & 6 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}

【関連記事】
線形代数入門

スポンサーリンク
レクタングル(下2)
レクタングル(下2)