【行列】n乗の計算式・問題例・証明

この記事では、ある行列Aのn乗の計算式・問題例などについて解説します。

n乗の計算式
証明
問題例

n乗の計算式

ある行列Aについて考えます。
逆行列をもつある行列Pを用いて

(1) $\begin{eqnarray*} P^{-1}AP=\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \\ \end{bmatrix} =B \end{eqnarray*}$

と変形できるとき、 $A^n$ は

(2) $\begin{eqnarray*} A^n=PB^nP^{-1} \end{eqnarray*}$

で計算できます。

証明

(3) $\begin{eqnarray*} B^n=(P^{-1}AP)^n=P^{-1}APP^{-1}AP.....P^{-1}AP=P^{-1}A^nP =\begin{bmatrix} \alpha^n & 0 \\ 0 & \beta^n \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

となります。よって、 $A^n$ は

(4) $\begin{eqnarray*} A^n=PB^nP^{-1} \end{eqnarray*}$

で求めることが出来ます。

問題例

【問題例①】

(5) $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -4 & -15 \\ 2 & 7 \\ \end{bmatrix}, P=\begin{bmatrix} -5 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

$B=P^{-1}AP$ について、

(6) $\begin{eqnarray*} B^n=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (\frac{1}{2})^n \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

であるとき、 $\lim_{n \to \infty}A^n$ を求めよ。

【解答例①】

(7) $\begin{eqnarray*} P^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2& 5 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

(8) $\begin{eqnarray*} A^n=PB^nP^{-1}=\begin{bmatrix} -5+6(\frac{1}{2})^n & -15+15(\frac{1}{2})^n \\ 2-2(\frac{1}{2})^n & 6-5(\frac{1}{2})^n \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$