シェアする

【物理】斜面を転がる球の運動(計算式・例題)

スポンサーリンク
ビッグバナー(上2)

この記事では、物理学の斜面を転がる球の運動の計算式や例題について解説します。

斜面を転がる球の運動

下図のように斜面を転がっていく球の運動について考えます。

例題① 球が地面に到達する時間

【問題文】
球を傾斜角θの斜面上に置いて静かに放したあと、地面に到達するまでの時間Tを求めよ。
※球の質量m, 重力加速度の大きさg、球の地面からの高さh、球は質点とし、斜面との摩擦は無視する

【解答】
球が斜面上を運動中の加速度aは、斜面方向の運動方程式より

(1) \begin{eqnarray*} ma=mgsin\theta\\ a=gsin\theta \end{eqnarray*}

となります。
また、地面に到達するまで斜面に沿って下降する距離LはL=\frac{h}{sin\theta}なので、等加速度運動の公式より求めたい時間Tは

(2) \begin{eqnarray*} L=\frac{1}{2}aT^2\\ \frac{h}{sin\theta}=\frac{1}{2}gsin\theta T^2\\ T=\frac{1}{sin\theta}\sqrt{\frac{2h}{g}} \end{eqnarray*}

となります。

例題② 斜面角度を2倍にしたときの到達時間

【問題文】
例題①の斜面の角度を2倍にしたとき、地面への到達時間T_2は何倍になるか。

【解答】

例題①の結果よりθを2θに置き換えると

(3) \begin{eqnarray*} T_2=\frac{1}{sin2\theta}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{sin\theta}{sin2\theta}T=\frac{T}{2cos\theta} \end{eqnarray*}

sin2\theta=2sin\theta cos\theta

よって、\frac{1}{2cos\theta}倍となる。

【関連記事】
確率入門
統計入門
高校数学入門

スポンサーリンク
レクタングル(下2)
レクタングル(下2)