QR分解とは(アルゴリズム、計算例、固有値)

この記事では、QR分解のアルゴリズム、計算例(例題)、固有値ついて解説します。

QR分解とは

QR分解とは、線形代数において行列を直交行列Qと、上三角行列Rの積に分解する手法です。
線型最小二乗問題や固有値問題を解く時に利用されます。
QR分解を計算する手法としては、ギブンス回転、ハウスホルダー変換、グラム・シュミット分解などがあります。
ここでは、グラム・シュミット分解について解説します。

QR分解の定理(公式)

任意の正則行列Xは、次式のように分解できます。

(1) \begin{eqnarray*} X =QR \end{eqnarray*}

ここで、Qは直交行列、Rは上三角行列です。
これをQR分解といいます。
※証明については下記事で解説しています。

【証明】QR分解の定理と証明

固有値の計算

QR分解を使うことで行列の固有値を計算することができます。
※固有値の計算方法については下記事でまとめています。
【詳細】【QR法】固有値の計算方法

QR分解の計算例

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