【CNN】畳み込みニューラルネットワークの原理・仕組み

CNN(畳み込みニューラルネットワーク)の原理・仕組みについてまとめました。

畳み込みニューラルネットワーク（CNN）とは

畳み込みニューラルネットワーク（CNN:Convolutional Neural Network)とは、ディープラーニングの手法の１つで、主に画像認識に利用されています。
ニューラルネットワークの重み計算に「畳み込み演算（Convolution）」が用いられていることから、CNNと呼ばれています。

畳み込み演算は、画像処理の基本である「空間フィルタリング」でも用いられています。
CNNは主に次の3つの層から構成されます。

層の種類 概要
入力層(Input Layer) 入力データを与える層。入力データが画像の場合、1入力に1画素を与える。（例えば32×32[px]のRGB画像なら入力の次元数は32×32×3=3072）
畳み込み層(Convolutional Layer) 入力データに対して畳み込み演算を行い、特徴量を取り出す層。
プーリング層(Pooling Layer) 特徴量を圧縮する層。（ロバスト性向上、過学習防止、計算コスト抑制のため）
全結合層(Fully Connected Layer) 取り出した特徴量から重み付き和を計算する層。
出力層 重み付き和から予測結果を出力する層。

畳み込み層

畳み込み演算とは、画像処理の代表例である「輪郭抽出」「ぼかし処理」などの「空間フィルタリング」で用いられている演算です。
CNNでも畳み込み層でこの演算が利用されており、「認識したい対象に応じて空間フィルタ（畳み込み層）のパラメータを自動で学習」させます。

また、CNNでは学習するフィルタを事前に複数用意します。
複数用意しておくことで、例えば「輪郭」「色」など複数の要素を扱うことができ、高精度な認識を行うことができます。
入力された画像データは、用意されたフィルタ処理の枚数だけ増えます。（例えばフィルタが3つなら画像も3枚に増える）

畳み込み演算

2次元の入力データu(x,y)に対して、フィルタh(x,y)を用いて畳み込み演算をする場合、計算式は以下のようになります。

(1)   \begin{eqnarray*} u'(x,y)=\sum_{i}\sum_{j}h(i, j) u(x+i, y+j) \end{eqnarray*}

畳み込み演算の例

先程の計算式の理解を深めるために、3×3の入力画像uと、2×2のフィルタhを例に計算してみます。

(2)   \begin{eqnarray*} u= \left[ \begin{array}{ccccc} u(0, 0) & u(1, 0) & u(2, 0)\\ u(0, 1) & u(1, 1) & u(2, 1)\\ u(0, 2) & u(1, 2) & u(2, 2)\\ \end{array} \right], h= \left[ \begin{array}{ccccc} h(0, 0) & h(1, 0)\\ h(0, 1) & h(1, 1)\\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}

出力u'は次のようになります。

(3)   \begin{eqnarray*} u'=h*u=\left[ \begin{array}{ccccc} u'(0, 0) & u'(1, 0)\\ u'(0, 1) & u'(1, 1)\\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}

u'の各要素は次式で計算します。

(4)   \begin{eqnarray*} u'(0,0)=h(0,0)u(0,0)+h(1,0)u(1,0)+h(0,1)u(0,1)+h(1,1)u(1,1)\\ u'(1,0)=h(0,0)u(1,0)+h(1,0)u(2,0)+h(0,1)u(1,1)+h(1,1)u(2,1)\\ u'(0,1)=h(0,0)u(0,1)+h(1,0)u(1,1)+h(0,1)u(0,2)+h(1,1)u(1,2)\\ u'(1,1)=h(0,0)u(1,1)+h(1,0)u(2,1)+h(0,1)u(1,2)+h(1,1)u(2,2)\\ \end{eqnarray*}

u'は特徴マップと呼ばれ、元画像が2\times 2のサイズに圧縮（簡略化）されたものです。

入力が3次元の場合

RGB画像など、入力が3次元の場合はフィルタも3つ用意します。
そして、R、G、Bそれぞれに対してフィルタを1つ使って畳み込み演算します。

(5)   \begin{eqnarray*} u_r'(x,y)=\sum_{i}\sum_{j}h_r(i, j) u_r(x+i, y+j)\\ u_g'(x,y)=\sum_{i}\sum_{j}h_g(i, j) u_g(x+i, y+j)\\ u_b'(x,y)=\sum_{i}\sum_{j}h_b(i, j) u_b(x+i, y+j) \end{eqnarray*}

ゼロパディング処理

ゼロパディング処理とは、出力画像のサイズを調整する手法です。
やり方は単純で、入力データの周囲に0を外挿してやるだけです。

例えば、3\times 3の2次元の入力画像uに1[px]分だけゼロパディングしてやります。

(6)   \begin{eqnarray*} u= \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & u(0, 0) & u(1, 0) & u(2, 0) & 0\\ 0 & u(0, 1) & u(1, 1) & u(2, 1) & 0\\ 0 & u(0, 2) & u(1, 2) & u(2, 2) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right], h= \left[ \begin{array}{ccccc} h(0, 0) & h(1, 0)\\ h(0, 1) & h(1, 1)\\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}

ゼロパディング後の入力画像のサイズは5\times 5となり、サイズ2\times 2のフィルタhで畳み込み演算すると出力画像のサイズは4\times 4と大きくなります。

ストライド

ストライドも、ゼロパディング処理同様に出力画像のサイズを調整する手法です。
ストライドでは、畳み込み演算する際のフィルタの移動量を変化させることで、出力画像のサイズを変化させます。
上記の畳込み演算では、移動量1（ストライド1）でしたが、それを2にすると出力画像のサイズも小さくなります。
その分、情報量も失われます。

プーリング層（Pooling Layer）

プーリング層（Pooling Layer）は、は畳み込み層の後に利用されるのが一般的です。
この層では、入力データを圧縮（Down sampling)します。
圧縮することで以下のメリットが得られ、使い勝手が向上します。

– 圧縮するメリット
1 ロバスト性の向上（微小な位置変化の影響を受けにくくなる）
2 過学習防止対策になる
3 計算コストを抑えられるを下げる

圧縮する方法はいくつかあります。

Max Pooling

Max poolingは、入力データ（配列）の小領域から最大値のみを取り出します。
このように情報を圧縮することで

例えば4×4の入力u'をMax poolingで2×2に圧縮することを考えます。
圧縮データu''は次のようになります。

(7)   \begin{eqnarray*} u'= \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12\\ 13 & 14 & 15 & 16\\ \end{array} \right], u''= \left[ \begin{array}{ccccc} 6 & 8\\ 14 & 16\\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}

全結合層(Fully Connected Layer)

全結合層（Fully Connected層）は、多層パーセプトロン（MLP）と同様のものです。
CNNの場合、出力層の手前に置かれるのが一般的です。
この部分で最終的な識別を行います。
また、出力層のユニット数はクラス数（分類する数）と一致させる必要があります。

出力ユニットの値yの計算は、多層パーセプトロン(MLP)と同じです。
それぞれの入力ユニットの値(x_1, x_2)と、接続の重み(w_1, w_2)を内積してバイアスbを加えます。

(8)   \begin{eqnarray*} y=f(w_1x_1+w_2x_2+b) \end{eqnarray*}

となります。ここでfは活性化関数と呼ばれるものです。

– 関連ページ・参考文献
1 ■【機械学習入門】アルゴリズム＆プログラミング
2 ■畳み込みニューラルネットワークの基礎 ■定番のConvolutional Neural Networkをゼロから理解する ■Convolutional Neural Networkとは何なのか ■畳み込みニューラルネットワークの構成

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