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【CR回路】時定数が小さいほど応答が速くなる理由

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この記事では、CR回路(微分回路)の時定数が小さいほど応答が速くなる理由について解説します。

CR回路の式

抵抗(R)とコンデンサ(C) を直列接続したCR回路は下図のようになります。


【電圧/電流】

入力電圧をV_iとするとき、時刻tにおける出力電圧V_oと電流をiは次式で計算できます。

(1) \begin{eqnarray*} V_o&=&V_ie^{-\frac{t}{\tau}}\\ i&=&\frac{V}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}\\ \tau&=&RC \end{eqnarray*}

ここで、 \tau は時定数と呼ばれ、回路の応答の速さを示しています。
時定数が大きいほど回路の応答が遅く、小さいほど応答が速いことを表します。

例えばパルス波(入力電圧)を加えた時の出力電圧の波形は下図のようになります

出力電圧の波形が入力電圧の波形を微分したような形になっていることがわかります。
時定数 \tau が小さいほど応答が速くなるので、出力波形の傾きもより急勾配になります。

時定数が小さいほど応答が速くなる理由

時定数が小さくなるほど応答が速くなる理由を計算式から考えていくと次のようになります。

\tauの値が小さくなる
\frac{t}{\tau}}の値が大きくなる
e^{-\frac{t}{\tau}}が0に近づく
(※e^{-x}の値はxが大きくなるほど0に近づく)
V_o=V_ie^{-\frac{t}{\tau}}より出力電圧Voも0に近づく
⑤出力電圧の波形の傾きが急になる=応答が速い

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