【RC直列回路とは】時定数、電流、電圧、ラプラス変換

この記事では、RC直列回路と時定数の関係についてまとめました。

【RC直列回路とは】時定数の意味

【RC直列回路】

時定数とは、緩和時間とも呼ばれ、回路の応答の速さを表す数値です。
(記号は\tauがよく用いられます)

時定数\tauと回路の応答の速さは「反比例」の関係にあります。
RC直列回路に流れる電流I、抵抗にかかる電圧V_R、コンデンサにかかる電圧V_Cと時定数\tauの関係は次式で表せます。

(1) \begin{eqnarray*} i(t)&=&\frac{V_i}{R} e^{-\frac{t}{RC}}\\ V_R(t)&=& V_ie^{-\frac{t}{RC}}\\ V_C(t)&=& V_i ( 1 - e^{-\frac{1}{RC}t} )\\ \tau&=&RC \end{eqnarray*}

パラメータ 内容
V_i 入力電圧
R 抵抗値
C コンデンサの静電容量
V_R 抵抗Rにかかる電圧
V_C コンデンサCにかかる電圧
\tau 時定数(別名:緩和時間, 立ち上がり時間と反比例)

抵抗R、コンデンサの静電容量Cが大きくなると時定数\tauも増大するため、応答時間(立ち上がり・立ち下がりの時間)は遅くなります。

【電流】計算式とグラフ

RC直列回路の電流の式はつぎのようになります。

(2) \begin{eqnarray*} i(t)&=&\frac{V_i}{R} e^{-\frac{t}{RC}}\\ (\tau&=& RC) \end{eqnarray*}

電流の式をグラフにすると以下のようになります。

電流は時間t=0I=\frac{V_i}{R}となります。
そして、時間が経過して定常状態になると\I=0になります。
抵抗R、コンデンサの静電容量Cが大きくなると立ち上がり時間(定常状態に達するまでの時間)は遅くなります。

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【抵抗電圧】計算式とグラフ

RC直列回路の過渡応答の電圧式はつぎのようになります。

(3) \begin{eqnarray*} V_R(t)&=& V_ie^{-\frac{t}{RC}}\\ \tau&=&RC \end{eqnarray*}

電圧式をグラフにすると以下のようになります。

抵抗にかかる電圧は時間t=0V_R=V_iとなります。
そして、時間が経過して定常状態になるとV_R=0になります。
抵抗R、コンデンサの静電容量Cが大きくなると立ち上がり時間(定常状態に達するまでの時間)は遅くなります。

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【コンデンサ電圧】計算式とグラフ

下図のようなRC直列回路のコンデンサの電圧式はつぎのようになります。

(4) \begin{eqnarray*} V_C(t)&=& V_i ( 1 - e^{-\frac{1}{RC}t} )\\ \tau&=&RC \end{eqnarray*}

変数 説明
V_i 入力電圧

R 抵抗値

C コンデンサの静電容量
V_C コンデンサにかかる電圧
\tau 時定数(別名:緩和時間, 立ち上がり時間と反比例)

電圧式をグラフにすると以下のようになります。

抵抗にかかる電圧は時間t=0V_R=0となります。
そして、時間が経過して定常状態になるとV_R=V_iになります。
抵抗R、コンデンサの静電容量Cが大きくなると立ち上がり時間(定常状態に達するまでの時間)は遅くなります。

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【ラプラス変換】計算式の導出

V_i:入力電圧、R:抵抗値、C:コンデンサの容量値、V_R:抵抗にかかる電圧、V_C:コンデンサにかかる電圧、i:回路全体に流れる電流値)

RC直列回路の過渡応答の式をラプラス変換を用いて導出します。

キルヒホッフの定理より次式が成立します。

(5) \begin{eqnarray*} V_i = Ri(t) + \frac{\int i(t)dt}{C} \end{eqnarray*}

ここでi(t)=\frac{dq(t)}{dt}, q=\int i(t) dtより上式は以下のように変形できます。

(6) \begin{eqnarray*} V_i = R \frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{C}  \end{eqnarray*}

上式をラプラス変換すると

(7) \begin{eqnarray*} \frac{V_i}{s} = RsQ(s)+\frac{Q(s)}{C} \end{eqnarray*}

となります。(V_iはステップ応答)

この式を電荷Q(S)について変形すると

(8) \begin{eqnarray*} Q(s)&=&\frac{\frac{V_i}{s}}{Rs+\frac{1}{C}}=\frac{V_i}{s(Rs+\frac{1}{C})}=\frac{\frac{V_i}{R}}{s(s+\frac{1}{RC})}=\frac{\frac{V_i}{RC}}{\frac{1}{c}s(s+\frac{1}{RC})}=\frac{\frac{CV_i}{RC}}{s(s+\frac{1}{RC})}\\ &=&CV_i \left[ \frac{\frac{1}{RC}}{s(s+\frac{1}{RC})} \right]=CV_i ( \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{RC}})  \end{eqnarray*}

となります。ここで、上式を逆ラプラス変換すると

(9) \begin{eqnarray*} Q(t) = CV_i ( 1 - e^{-\frac{1}{RC}t} ) \end{eqnarray*}

となります。(時間が経つと電荷はCV_iに収束)

コンデンサCにかかる電圧V_C(t)

(10) \begin{eqnarray*} V_C(t)&=& \frac{Q(t)}{C}=V_i ( 1 - e^{-\frac{1}{RC}t} ) \end{eqnarray*}

となります。(時間が経つと入力電圧V_iに収束)

回路に流れる電流i(t)

(11) \begin{eqnarray*} i(t)&=&\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{CV_i}{RC}e^{-\frac{1}{RC}t}=\frac{V_i}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \end{eqnarray*}

となります。(時間が経つと0に収束)

抵抗Rにかかる電圧V_R(t)

(12) \begin{eqnarray*} V_R(t)&=& Ri(t)=V_ie^{-\frac{t}{RC}} \end{eqnarray*}

となります。(証明終わり)

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